2.5 Dar as equações gerais para os diversos tipos de cilindros quádricos, completando a tabela:
Considere um raio a.
Tipo de cilindro Geratrizes paralelas ao: Equação Geral
CIRCULAR Eixo z x^{2}+y^{2}=a^{2}
Eixo y
Eixo x
ELÍPTICO Eixo z
Eixo y
Eixo x
PARABÓLICO Eixo z
Eixo y
Eixo x
HIPERBÓLICO Eixo z
Eixo y
Eixo x

Passo 1

O enunciado pede para completar a tabela dando as equações gerais dos cilindros quádricos (cilindros gerados por uma cônica) quando as geratrizes são paralelas aos eixos coordenados. Foi dito: "Considere um raio a". Informações relevantes e o que precisamos fornecer, na ordem da tabela:
  • Tipos de cilindro a considerar: CIRCULAR, ELÍPTICO, PARABÓLICO, HIPERBÓLICO.
  • Para cada tipo, precisamos a equação quando as geratrizes são paralelas a:
    1. Eixo z (ou seja, a cônica está no plano xy e a equação não depende de z);
    2. Eixo y (a cônica está no plano xz e a equação não depende de y);
    3. Eixo x (a cônica está no plano yz e a equação não depende de x).
  • Parâmetros: foi dado um raio a (usado claramente para o caso circular). Para elipse/hipérbole é habitual introduzir também um segundo semi-eixo b. Para parábola é habitual usar o parâmetro focal p (pode-se escolher p=a se o enunciado exigir usar apenas a).

Passo 2

Ideia geral (sem fazer cálculo ainda): o cilindro é a superfície obtida ao “transladar” uma cônica ao longo de uma direção fixa (a direção das geratrizes). Em termos de equações cartesianas isso significa:
  • Se a cônica no plano perpendicular à direção das geratrizes tem equação F(u,v)=0, então a equação do cilindro é essa mesma equação escrita nas duas coordenadas do plano perpendicular, sem depender da terceira coordenada que indica a direção das geratrizes.
Concretamente:
  • Geratrizes paralelas ao eixo z: a cônica está em xy e a equação do cilindro é F(x,y)=0 (independente de z).
  • Geratrizes paralelas ao eixo y: a cônica está em xz e a equação do cilindro é F(x,z)=0 (independente de y).
  • Geratrizes paralelas ao eixo x: a cônica está em yz e a equação do cilindro é F(y,z)=0 (independente de x).
Vou agora escrever as formas padrão de cada cônica (no plano) e em seguida aplicar essa regra para cada orientação do eixo gerador.

Passo 3

CÍRCULO — forma padrão no plano xy:
x^{2}+y^{2}=a^{2},
onde a>0 é o raio (semi‑eixo único). Aplicando a regra das geratrizes:
  • Geratrizes paralelas ao eixo z (cônica em xy):
x^{2}+y^{2}=a^{2}.
Explicando: a equação não depende de z, logo a seção em qualquer plano z=\text{const} é o mesmo círculo.
  • Geratrizes paralelas ao eixo y (cônica em xz): substituir y por z na fórmula do círculo no plano:
x^{2}+z^{2}=a^{2}.
  • Geratrizes paralelas ao eixo x (cônica em yz): substituir x por y e y por z (ou simplesmente escrever o círculo no plano yz):
y^{2}+z^{2}=a^{2}.

Passo 4

ELIPSE — forma padrão no plano xy:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde a>0 e b>0 são os semi-eixos ao longo de x e y respectivamente. (Se a=b recupera-se o círculo.)
Aplicando a regra das geratrizes:
  • Geratrizes paralelas ao eixo z (cônica em xy):
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
  • Geratrizes paralelas ao eixo y (cônica em xz): a elipse no plano xz fica
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}=1.
  • Geratrizes paralelas ao eixo x (cônica em yz): a elipse no plano yz fica
\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}=1,
onde aqui, por convenção, usei a e b como semi-eixos no respectivo plano (poder-se-ia renomear os parâmetros; o importante é que existam dois semi-eixos).

Passo 5

PARÁBOLA — forma padrão no plano xy (vértice na origem, concavidade para +y):
y=\frac{x^{2}}{4p},
onde p>0 é a distância focal (parâmetro focal). Alternativamente escrevemos na forma clássica
x^{2}=4p\,y.
(Se preferir usar a como parâmetro da parábola, basta tomar p=a e escrever x^{2}=4a\,y.)
Aplicando a regra das geratrizes:
  • Geratrizes paralelas ao eixo z (cônica em xy):
y=\frac{x^{2}}{4p}\quad\text{ou}\quad x^{2}=4p\,y,
equação independente de z.
  • Geratrizes paralelas ao eixo y (cônica em xz):
z=\frac{x^{2}}{4p}\quad\text{ou}\quad x^{2}=4p\,z,
equação independente de y.
  • Geratrizes paralelas ao eixo x (cônica em yz):
y=\frac{z^{2}}{4p}\quad\text{ou}\quad z^{2}=4p\,y,
equação independente de x.
Dica prática para a prova: se vir uma equação do tipo x^{2}=4p\,y e pedirem para qual eixo são paralelas as geratrizes, repare na variável ausente (a variável que não aparece na equação é a direção das geratrizes).

Passo 6

HIPÉRBOLE — forma padrão no plano xy (ramos abertos ao longo de x):
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde a>0 e b>0 são os semi-eixos reais; a troca de sinal entre termos define a hipérbole. (Também existe a forma com o sinal invertido para ramos abertos ao longo de y: -\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.)
Aplicando a regra das geratrizes:
  • Geratrizes paralelas ao eixo z (cônica em xy):
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
  • Geratrizes paralelas ao eixo y (cônica em xz):
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{b^{2}}=1.
  • Geratrizes paralelas ao eixo x (cônica em yz):
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{b^{2}}=1.
Observação: para cada tipo de hipérbole pode-se trocar os papéis de a e b e o sinal para obter a hipérbole com ramos orientados de outra forma; o importante é a presença do sinal negativo entre os termos quadráticos.

Passo 7

Resumo rápido (como decorar para a prova):
  • Identifique a cônica no plano perpendicular à direção das geratrizes.
  • Escreva a forma padrão da cônica nesse plano.
  • A equação do cilindro é exatamente essa forma, sem a variável que aponta na direção das geratrizes.
  • Para elipse/hipérbole use dois parâmetros a e b; para parábola use o parâmetro focal p (ou escolha p=a se o enunciado quiser usar só a).
Força aí — com esse procedimento, numa questão de prova você consegue escrever qualquer cilindro quádruplo pedindo só para trocar qual variável fica ausente.

Resposta

CIRCULAR, geratrizes paralelas ao eixo z: x^{2}+y^{2}=a^{2}
CIRCULAR, geratrizes paralelas ao eixo y: x^{2}+z^{2}=a^{2}
CIRCULAR, geratrizes paralelas ao eixo x: y^{2}+z^{2}=a^{2}
ELÍPTICO, geratrizes paralelas ao eixo z: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1
ELÍPTICO, geratrizes paralelas ao eixo y: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{z^{2}}{b^{2}}=1
ELÍPTICO, geratrizes paralelas ao eixo x: \dfrac{y^{2}}{a^{2}}+\dfrac{z^{2}}{b^{2}}=1
PARABÓLICO, geratrizes paralelas ao eixo z: y=\dfrac{x^{2}}{4p} (ou x^{2}=4p\,y)
PARABÓLICO, geratrizes paralelas ao eixo y: z=\dfrac{x^{2}}{4p} (ou x^{2}=4p\,z)
PARABÓLICO, geratrizes paralelas ao eixo x: y=\dfrac{z^{2}}{4p} (ou z^{2}=4p\,y)
HIPERBÓLICO, geratrizes paralelas ao eixo z: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1
HIPERBÓLICO, geratrizes paralelas ao eixo y: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{z^{2}}{b^{2}}=1
HIPERBÓLICO, geratrizes paralelas ao eixo x: \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{z^{2}}{b^{2}}=1

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