2.5 Dar as equações gerais para os diversos tipos de cilindros quádricos, completando a tabela:
Considere um raio a.
Tipo de cilindro
Geratrizes paralelas ao:
Equação Geral
CIRCULAR
Eixo z
Eixo y
Eixo x
ELÍPTICO
Eixo z
Eixo y
Eixo x
PARABÓLICO
Eixo z
Eixo y
Eixo x
HIPERBÓLICO
Eixo z
Eixo y
Eixo x
Considere um raio a.
| Tipo de cilindro | Geratrizes paralelas ao: | Equação Geral |
| CIRCULAR | Eixo z |
|
| Eixo y | ||
| Eixo x | ||
| ELÍPTICO | Eixo z | |
| Eixo y | ||
| Eixo x | ||
| PARABÓLICO | Eixo z | |
| Eixo y | ||
| Eixo x | ||
| HIPERBÓLICO | Eixo z | |
| Eixo y | ||
| Eixo x |
Passo 1
O enunciado pede para completar a tabela dando as equações gerais dos cilindros quádricos (cilindros gerados por uma cônica) quando as geratrizes são paralelas aos eixos coordenados. Foi dito: "Considere um raio
". Informações relevantes e o que precisamos fornecer, na ordem da tabela:
- Tipos de cilindro a considerar: CIRCULAR, ELÍPTICO, PARABÓLICO, HIPERBÓLICO.
- Para cada tipo, precisamos a equação quando as geratrizes são paralelas a:
- Eixo
(ou seja, a cônica está no plano e a equação não depende de ); - Eixo
(a cônica está no plano e a equação não depende de ); - Eixo
(a cônica está no plano e a equação não depende de ).
- Eixo
- Parâmetros: foi dado um raio
(usado claramente para o caso circular). Para elipse/hipérbole é habitual introduzir também um segundo semi-eixo . Para parábola é habitual usar o parâmetro focal (pode-se escolher se o enunciado exigir usar apenas ).
Passo 2
Ideia geral (sem fazer cálculo ainda): o cilindro é a superfície obtida ao “transladar” uma cônica ao longo de uma direção fixa (a direção das geratrizes). Em termos de equações cartesianas isso significa:
- Se a cônica no plano perpendicular à direção das geratrizes tem equação
, então a equação do cilindro é essa mesma equação escrita nas duas coordenadas do plano perpendicular, sem depender da terceira coordenada que indica a direção das geratrizes.
Concretamente:
- Geratrizes paralelas ao eixo
: a cônica está em e a equação do cilindro é (independente de ). - Geratrizes paralelas ao eixo
: a cônica está em e a equação do cilindro é (independente de ). - Geratrizes paralelas ao eixo
: a cônica está em e a equação do cilindro é (independente de ).
Vou agora escrever as formas padrão de cada cônica (no plano) e em seguida aplicar essa regra para cada orientação do eixo gerador.
Passo 3
CÍRCULO — forma padrão no plano
:
onde
é o raio (semi‑eixo único). Aplicando a regra das geratrizes:
- Geratrizes paralelas ao eixo
(cônica em ):
Explicando: a equação não depende de
, logo a seção em qualquer plano
é o mesmo círculo.
- Geratrizes paralelas ao eixo
(cônica em ): substituir por na fórmula do círculo no plano:
- Geratrizes paralelas ao eixo
(cônica em ): substituir por e por (ou simplesmente escrever o círculo no plano ):
Passo 4
ELIPSE — forma padrão no plano
:
onde
e
são os semi-eixos ao longo de
e
respectivamente. (Se
recupera-se o círculo.)
Aplicando a regra das geratrizes:
- Geratrizes paralelas ao eixo
(cônica em ):
- Geratrizes paralelas ao eixo
(cônica em ): a elipse no plano fica
- Geratrizes paralelas ao eixo
(cônica em ): a elipse no plano fica
onde aqui, por convenção, usei
e
como semi-eixos no respectivo plano (poder-se-ia renomear os parâmetros; o importante é que existam dois semi-eixos).
Passo 5
PARÁBOLA — forma padrão no plano
(vértice na origem, concavidade para
):
onde
é a distância focal (parâmetro focal). Alternativamente escrevemos na forma clássica
(Se preferir usar
como parâmetro da parábola, basta tomar
e escrever
.)
Aplicando a regra das geratrizes:
- Geratrizes paralelas ao eixo
(cônica em ):
equação independente de
.
- Geratrizes paralelas ao eixo
(cônica em ):
equação independente de
.
- Geratrizes paralelas ao eixo
(cônica em ):
equação independente de
.
Dica prática para a prova: se vir uma equação do tipo
e pedirem para qual eixo são paralelas as geratrizes, repare na variável ausente (a variável que não aparece na equação é a direção das geratrizes).
Passo 6
HIPÉRBOLE — forma padrão no plano
(ramos abertos ao longo de
):
onde
e
são os semi-eixos reais; a troca de sinal entre termos define a hipérbole. (Também existe a forma com o sinal invertido para ramos abertos ao longo de
:
.)
Aplicando a regra das geratrizes:
- Geratrizes paralelas ao eixo
(cônica em ):
- Geratrizes paralelas ao eixo
(cônica em ):
- Geratrizes paralelas ao eixo
(cônica em ):
Observação: para cada tipo de hipérbole pode-se trocar os papéis de
e
e o sinal para obter a hipérbole com ramos orientados de outra forma; o importante é a presença do sinal negativo entre os termos quadráticos.
Passo 7
Resumo rápido (como decorar para a prova):
- Identifique a cônica no plano perpendicular à direção das geratrizes.
- Escreva a forma padrão da cônica nesse plano.
- A equação do cilindro é exatamente essa forma, sem a variável que aponta na direção das geratrizes.
- Para elipse/hipérbole use dois parâmetros
e ; para parábola use o parâmetro focal (ou escolha se o enunciado quiser usar só ).
Força aí — com esse procedimento, numa questão de prova você consegue escrever qualquer cilindro quádruplo pedindo só para trocar qual variável fica ausente.
Resposta
CIRCULAR, geratrizes paralelas ao eixo
:
CIRCULAR, geratrizes paralelas ao eixo :
CIRCULAR, geratrizes paralelas ao eixo :
CIRCULAR, geratrizes paralelas ao eixo
CIRCULAR, geratrizes paralelas ao eixo
ELÍPTICO, geratrizes paralelas ao eixo
:
ELÍPTICO, geratrizes paralelas ao eixo :
ELÍPTICO, geratrizes paralelas ao eixo :
ELÍPTICO, geratrizes paralelas ao eixo
ELÍPTICO, geratrizes paralelas ao eixo
PARABÓLICO, geratrizes paralelas ao eixo
:
(ou
)
PARABÓLICO, geratrizes paralelas ao eixo :
(ou
)
PARABÓLICO, geratrizes paralelas ao eixo :
(ou
)
PARABÓLICO, geratrizes paralelas ao eixo
PARABÓLICO, geratrizes paralelas ao eixo
HIPERBÓLICO, geratrizes paralelas ao eixo
:
HIPERBÓLICO, geratrizes paralelas ao eixo :
HIPERBÓLICO, geratrizes paralelas ao eixo :
HIPERBÓLICO, geratrizes paralelas ao eixo
HIPERBÓLICO, geratrizes paralelas ao eixo