Considere o seguinte espaço vetorial de M2(R) :
U=[ll x & y z & t ] rvert, x-y-z=0
e os subconjuntos de M2(R) :
B=[ll 1 & 1 0 & 0 ],[ll 1 & 0 1 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 1 ]
e
C=[ll 1 & 0 1 & 0 ],[cc 0 & -1 1 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 1 ]
Quais das seguintes matrizes pertencem a U. Justifique sua resposta detalhadamente.
[ll 4 & 2 0 & 2 ],[ll 1 & 0 0 & 1 ],[ll 4 & 3 0 & 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com espaços vetoriais e matrizes 2x2. O objetivo é verificar quais das três matrizes dadas pertencem ao conjunto U , que é formado por matrizes onde os elementos x, y e z satisfazem a equação x - y - z = 0 . Para resolver isso, a gente vai checar cada matriz individualmente usando essa condição.

Passo 2

Vamos começar com a primeira matriz:
4 & 2 0 & 2
Aqui, identificamos os elementos:
  • x = 4
  • y = 2
  • z = 0
  • t = 2 (nesse exercício, t não entra na condição)
Agora, aplicamos a condição x - y - z = 0 :
4 - 2 - 0 = 2 neq 0
Como o resultado não é zero, essa matriz não pertence a U .

Passo 3

Vamos para a segunda matriz:
1 & 0 0 & 1
Identificando os elementos:
  • x = 1
  • y = 0
  • z = 0
  • t = 1
Aplicando a condição x - y - z = 0 :
1 - 0 - 0 = 1 neq 0
O resultado novamente não é zero, então essa matriz não pertence a U .

Passo 4

Agora, vamos para a terceira matriz:
4 & 3 0 & 0
Identificando os elementos:
  • x = 4
  • y = 3
  • z = 0
  • t = 0
Aplicando a condição x - y - z = 0 :
4 - 3 - 0 = 1 neq 0
Mais uma vez, o resultado não é zero, então essa matriz não pertence a U .

Resposta

Nenhuma das três matrizes pertence a U .

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