Seja W o subespaço de P3 gerado pelos polinômios p, q, w e h, em que:
p(t)=1, q(t)=t+t^3, w(t)=t+t^2+t^3, h(t)=1+t+t^2+t^3
Encontre uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço Wsubset P3 gerado por
p(t)=1, q(t)=t+t^3, w(t)=t+t^2+t^3, h(t)=1+t+t^2+t^3
Aqui usamos conhecimentos de espaços vetoriais finito-dimensionais e de como verificar independência linear e gerar uma base via redução de posto.

Passo 2

Para organizar, representamos cada polinômio pela tupla de coeficientes na base 1,t,t^2,t^3:
pmapsto(1,0,0,0), qmapsto(0,1,0,1), wmapsto(0,1,1,1), hmapsto(1,1,1,1)

Passo 3

Montamos a matriz cujas linhas são essas tuplas e fazemos escalonamento:
1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 ;xrightarrowsubstackR4to R4-R1R3toR3-R2 ; 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 ;xrightarrowR4toR4-R3 ; 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Dessa forma vemos que o posto é 3, logo dim W=3.

Passo 4

Como o posto é 3, sobra um vetor que é combinação linear dos outros. De fato
h(t)=1+t+t^2+t^3=p(t)+w(t),
então podemos descartar h e tomar
p,q,w como base, pois já verificamos que são linearmente independentes.

Resposta

Uma base de W é
,1,;t+t^3,;t+t^2+t^3,
e dim W=3.

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