Considere a seguinte FDP,
f(x)=k[1-(x-3)^2],
com x in[2,4]. Determine:
(a) O valor de k para que f seja uma FDP legítima.
(b) A FDA de f.
© O valor esperado de x e sua variância.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade contínua em [2,4], f(x)=kl[1-(x-3)^2r], e pede: (a) determinar k para que f seja uma FDP válida, (b) calcular a função de distribuição acumulada F(x), e © achar o valor esperado E[X] e a variância Var(X). Vamos usar integração para normalizar a densidade, integração indefinida para a CDF e fórmulas de momentos para média e variância.

Passo 2

Para achar k, impomos que a integral da densidade em [2,4] seja 1. Integramos:
integral2^4l[1-(x-3)^2r]dx =integral-1^1(1-u^2)du =l[u-tfracu^33r]-1^1 =2-tfrac23=tfrac43
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kcdottfrac43=1 Rightarrow k=tfrac34

Passo 3

Para a CDF F(x)=integral2^xf(t),dt em 2<= x<=4, usamos a primitiva de 1-(t-3)^2:
integrall[1-(t-3)^2r]dt = t-tfrac(t-3)^33
Então
F(x)=34l[l(x-tfrac(x-3)^33r)-l(2-tfrac(-1)^33r)r] =-x^3+9x^2-24x+204, \ncom F(x)=0 para x<2 e F(x)=1 para x>4.

Passo 4

Para calcular E[X] e Var(X), observamos que a densidade é simétrica em torno de x=3, então
E[X]=3
Para a variância, achamos E[X^2]:
E[X^2]=34integral2^4x^2l[1-(x-3)^2r]dx =34cdot18415=465
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Var(X)=E[X^2]-l(E[X]r)^2=465-9=15

Resposta

(a) k=tfrac34;
(b) F(x)=0,&x<2,-x^3+9x^2-24x+204,&2<= x<=4,1,&x>4;
© E[X]=3 e Var(X)=tfrac15.

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