Um loja recebe um carregamento de 15 toalhas de rosto, sendo 6 brancas e o restante amarelas. Cinco dessas toalhas são selecionadas aleatoriamente para serem colocadas em exposição e o restante vai para o estoque. Determine:
(a) O tipo de distribuição e seus parâmetros da vaiável aleatória de
número de toalhas brancas em exposição.
(b)
© A probabilidade de que todas toalhas em exposição sejam amarelas.
(d) Valor esperado e desvio padrão de
.
(a) O tipo de distribuição e seus parâmetros da vaiável aleatória de
(b)
© A probabilidade de que todas toalhas em exposição sejam amarelas.
(d) Valor esperado e desvio padrão de
Passo 1
O enunciado diz que temos 15 toalhas no total (6 brancas e 9 amarelas) e selecionamos 5 sem reposição para exibição. Definimos X como o número de toalhas brancas na amostra. O conteúdo envolve a distribuição hipergeométrica, que modela o número de sucessos em amostras sem reposição.
Passo 2
A variável X segue distribuição hipergeométrica com parâmetros N=15 (tamanho da população), K=6 (número de sucessos na população) e n=5 (tamanho da amostra). A função massa de probabilidade (PMF) é dada por
Passo 3
Para calcular P(X\ge2), usamos
Calculando cada termo:
Logo,
Passo 4
A probabilidade de todas as toalhas em exposição serem amarelas corresponde a X=0, que já calculamos:
Passo 5
As fórmulas para esperança e variância da hipergeométrica são
Substituindo N=15, K=6 e n=5, temos
logo o desvio-padrão é
Resposta
(a) X~Hipergeom(15,6,5). (b) P(X≥2)≈0.7063. © P(todas amarelas)=P(X=0)≈0.04195. (d) E[X]=2 e desvio-padrão ≈0.9258.