Um loja recebe um carregamento de 15 toalhas de rosto, sendo 6 brancas e o restante amarelas. Cinco dessas toalhas são selecionadas aleatoriamente para serem colocadas em exposição e o restante vai para o estoque. Determine:
(a) O tipo de distribuição e seus parâmetros da vaiável aleatória de X= número de toalhas brancas em exposição.
(b) P(X >= 2)
© A probabilidade de que todas toalhas em exposição sejam amarelas.
(d) Valor esperado e desvio padrão de X.

Passo 1

O enunciado diz que temos 15 toalhas no total (6 brancas e 9 amarelas) e selecionamos 5 sem reposição para exibição. Definimos X como o número de toalhas brancas na amostra. O conteúdo envolve a distribuição hipergeométrica, que modela o número de sucessos em amostras sem reposição.

Passo 2

A variável X segue distribuição hipergeométrica com parâmetros N=15 (tamanho da população), K=6 (número de sucessos na população) e n=5 (tamanho da amostra). A função massa de probabilidade (PMF) é dada por
P(X=x)=binomKx,binomN-Kn-xbinomNn, x=0,1,dots,n

Passo 3

Para calcular P(X\ge2), usamos
P(X>=2)=1-[P(X=0)+P(X=1)]
Calculando cada termo:
P(X=0)=binom60binom95binom155=1263003approx0.04195,
P(X=1)=binom61binom94binom155=6times1263003=7563003approx0.25174
Logo,
P(X>=2)=1-(0.04195+0.25174)approx0.70631

Passo 4

A probabilidade de todas as toalhas em exposição serem amarelas corresponde a X=0, que já calculamos:
P(X=0)approx0.04195

Passo 5

As fórmulas para esperança e variância da hipergeométrica são
E[X]=nKN,
Var(X)=nKNl(1-KNr)N-nN-1
Substituindo N=15, K=6 e n=5, temos
E[X]=5times615=2,
Var(X)=5times615times915times1014=67approx0.85714,
logo o desvio-padrão é
sigma=raizVar(X)=raiztfrac67approx0.92582

Resposta

(a) X~Hipergeom(15,6,5). (b) P(X≥2)≈0.7063. © P(todas amarelas)=P(X=0)≈0.04195. (d) E[X]=2 e desvio-padrão ≈0.9258.

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