Seja a seguinte FDP:
f(x)=1raiz2 pi exp (-(x-1)^22)
determine:
(a) Uma FDA aproximada para o intervalo x in(mu, mu+de. Dica: utilize a série de Taylor f(x) simeq f(0)+f^prime(0) x+f^prime prime(0) x^2 / 2.
(b) A probabilidade, segundo a FDA encontrada no item (a), que x esteja entre a média e a média mais um desvio padrão.
© O erro do resultado do item (b) quando comparado com uma tabela para FDA da distribuição.

Passo 1

Temos a FDP normal f(x)=1raiz2piexpl(-(x-1)^22r) com média mu=1 e desvio-padrão 1. Queremos aproximar a FDA no intervalo xin(mu,mu+de usando a série de Taylor de f em torno de u=x-mu e depois calcular para de.

Passo 2

Definimos u=x-mu. A densidade em função de u é f(u)=tfrac1raiz2pie^-u^2/2. Calculamos as derivadas em u=0:
f(0)=1raiz2pi, f'(u)=-u,1raiz2pie^-u^2/2implies f'(0)=0,
f''(u)=(u^2-1),1raiz2pie^-u^2/2implies f''(0)=-1raiz2pi
Assim a expansão até segunda ordem é
f(u)approx1raiz2pi+0cdot u+f''(0)2u^2=1raiz2pil(1-u^22r)

Passo 3

Para aproximar a FDA integramos de 0 a u:
$$F(\mu+u)-F(\mu)=\int_0^u f(t),dt\approx\int_0u\frac1{\sqrt{2\pi}}\Bigl(1-\frac{t2}{2}\Bigr)dt=\frac1{\sqrt{2\pi}}\Bigl(u-\frac{u^3}{6}\Bigr).
F(mu+u)-F(mu)=integral0^u f(t),dtapproxintegral0^u1raiz2pil(1-t^22r)dt=1raiz2pil(u-u^36r) íF(x)\approx0.5+\frac1{\sqrt{2\pi}}\Bigl((x-1)-\frac{(x-1)^3}{6}\Bigr),\quad x\in(1,1+\delta).$$

Passo 4

Para de, a probabilidade P(1 fica
P(1

Passo 5

Segundo tabela padrão de normal, P(0. O erro absoluto é
l|0.34134-0.33245r|approx0.00889

Resposta

(a) Para xin(1,1+de:
F(x)approx0.5+1raiz2pil((x-1)-(x-1)^36r)
(b) P(1
© Erro absoluto approx0.00889

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