2^{\underline{a}} Questão: Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{7 x^{5}-10 x^{4}-9}{-2 x^{9}+x^{2}-10}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty}\frac{7x^{5}-10x^{4}-9}{-2x^{9}+x^{2}-10}
Este é um limite de função racional no infinito. Para resolver, vamos comparar os graus do numerador e do denominador e, em seguida, fazer uma divisão por uma potência de x.

Passo 2

O grau do numerador é 5 e o do denominador é 9. Como 9>5, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador em módulo quando x\to-\infty. Para ver isso de forma rigorosa, dividimos numerador e denominador por x^{9}:
\frac{7x^{5}-10x^{4}-9}{-2x^{9}+x^{2}-10} =\frac{\frac{7x^{5}}{x^{9}}-\frac{10x^{4}}{x^{9}}-\frac{9}{x^{9}}} {\frac{-2x^{9}}{x^{9}}+\frac{x^{2}}{x^{9}}-\frac{10}{x^{9}}} =\frac{\frac{7}{x^{4}}-\frac{10}{x^{5}}-\frac{9}{x^{9}}} {-2+\frac{1}{x^{7}}-\frac{10}{x^{9}}}.

Passo 3

Ao fazermos x\to -\infty, todos os termos do tipo \tfrac{1}{x^{k}} tendem a 0. Então o numerador tende a 0 e o denominador tende a -2. Logo,
\lim_{x\to -\infty} \frac{7x^{5}-10x^{4}-9}{-2x^{9}+x^{2}-10} =\frac{0}{-2} =0.

Resposta

0

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