Considere a seguinte função, definida no inervalo de x=0 até x=4 :
f(x)= 2 & 0 <= x<2 x & 2 <= x<4
Obtenha uma expansão para a função f(x) utilizando uma série de Fourier em cossenos, supondo que exista uma extensão par para f(x) no intervalo de x=-4 até x=0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de séries de Fourier, especificamente a expansão em série de cossenos. O problema nos apresenta uma função definida no intervalo de x=0 até x=4 e pede para encontrar sua expansão em série de Fourier assumindo que a função é par no intervalo de x=-4 até x=0. Para isso, precisaremos entender como funciona a série de Fourier para funções pares e calcular os coeficientes apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é uma série de Fourier em cossenos. Para funções pares, a série de Fourier é composta apenas de termos de cossenos. A série geral é dada por:
f(x) = a02 + sumn=1^infty an cos(npi xL)
onde L é o período da função. No nosso caso, como a função está definida de 0 a 4 e é estendida de forma par para -4 a 0, o período 2L é 8, então L = 4.

Passo 3

Agora, precisamos calcular os coeficientes a0 e an. A fórmula para a0 é:
a0 = 2L integral0^L f(x) , dx
E para an:
an = 2L integral0^L f(x) cos(npi xL) , dx
Com L=4, as fórmulas se tornam:
a0 = 12 integral0^4 f(x) , dx
an = 12 integral0^4 f(x) cos(npi x4) , dx

Passo 4

Vamos calcular a0. A função f(x) é definida por partes:
f(x)= 2 & 0 <= x<2 x & 2 <= x<4
Portanto, a integral para a0 fica:
a0 = 12 [ integral0^2 2 , dx + integral2^4 x , dx ]
Calculando as integrais:
integral0^2 2 , dx = 2x |0^2 = 4
integral2^4 x , dx = x^22 |2^4 = 162 - 42 = 8 - 2 = 6
Então:
a0 = 12 (4 + 6) = 102 = 5

Passo 5

Agora, vamos calcular an:
an = 12 [ integral0^2 2 cos(npi x4) , dx + integral2^4 x cos(npi x4) , dx ]
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 6

Primeira integral:
integral0^2 2 cos(npi x4) , dx = 2 cdot 4npi sin(npi x4) |0^2 = 8npi [sin(npi cdot 24) - sin(0)] = 8npi sin(npi2)

Passo 7

Segunda integral:
Para resolver integral x cos(npi x4) , dx, usamos integração por partes:
Seja u = x e dv = cos(npi x4) dx, então du = dx e v = 4npi sin(npi x4).
Aplicando integração por partes:
integral x cos(npi x4) dx = 4xnpi sin(npi x4) - 4npi integral sin(npi x4) dx
Resolvendo a segunda integral:
integral sin(npi x4) dx = -4npi cos(npi x4)
Então:
integral x cos(npi x4) dx = 4xnpi sin(npi x4) + 16(npi)^2 cos(npi x4) + C
Aplicando os limites de 2 a 4:
[ 4xnpi sin(npi x4) + 16(npi)^2 cos(npi x4) ]2^4
Calculando em x=4:
16npi sin(npi) + 16(npi)^2 cos(npi)
Em x=2:
8npi sin(npi2) + 16(npi)^2 cos(npi2)
Subtraindo:
( 16npi sin(npi) + 16(npi)^2 cos(npi) ) - ( 8npi sin(npi2) + 16(npi)^2 cos(npi2) )
Simplificando, sabendo que sin(npi)=0 e cos(npi)=(-1)^n, temos:
16(npi)^2 (-1)^n - 8npi sin(npi2) - 16(npi)^2 cos(npi2)

Passo 8

Agora, juntamos as duas integrais para encontrar an:
an = 12 [ 8npi sin(npi2) + 16(npi)^2 (-1)^n - 8npi sin(npi2) - 16(npi)^2 cos(npi2) ]
Simplificando:
an = 12 [ 16(npi)^2 (-1)^n - 16(npi)^2 cos(npi2) ] = 8(npi)^2 [ (-1)^n - cos(npi2) ]

Passo 9

Finalmente, substituímos a0 e an na série de Fourier:
f(x) = 52 + sumn=1^infty 8(npi)^2 [ (-1)^n - cos(npi2) ] cos(npi x4)

Resposta

A expansão em série de Fourier em cossenos para a função f(x) é:
f(x) = 52 + sumn=1^infty 8(npi)^2 [ (-1)^n - cos(npi2) ] cos(npi x4)

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