Considere a seguinte função, definida no inervalo de até :
Obtenha uma expansão para a função utilizando uma série de Fourier em cossenos, supondo que exista uma extensão par para no intervalo de até .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de séries de Fourier, especificamente a expansão em série de cossenos. O problema nos apresenta uma função definida no intervalo de até e pede para encontrar sua expansão em série de Fourier assumindo que a função é par no intervalo de até . Para isso, precisaremos entender como funciona a série de Fourier para funções pares e calcular os coeficientes apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é uma série de Fourier em cossenos. Para funções pares, a série de Fourier é composta apenas de termos de cossenos. A série geral é dada por:
onde é o período da função. No nosso caso, como a função está definida de a e é estendida de forma par para a , o período é , então .
Passo 3
Agora, precisamos calcular os coeficientes e . A fórmula para é:
Segunda integral:
Para resolver integral x cos(npi x4) , dx, usamos integração por partes:
Seja u = x e dv = cos(npi x4) dx, então du = dx e v = 4npi sin(npi x4).
Aplicando integração por partes:
integral x cos(npi x4) dx = 4xnpi sin(npi x4) - 4npi integral sin(npi x4) dx
Resolvendo a segunda integral:
integral sin(npi x4) dx = -4npi cos(npi x4)
Então:
integral x cos(npi x4) dx = 4xnpi sin(npi x4) + 16(npi)^2 cos(npi x4) + C