Considere a seguinte função definida por partes. Encontre quais devem ser os valores de e para que a função seja contínua em todos os pontos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores de b e c que tornam a função f(x) contínua em todos os pontos. A função é definida por partes, então precisamos garantir que não haja “saltos” nos pontos onde a definição muda, que no caso são x = 3 e x = 4 . Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade e limites, garantindo que os limites laterais sejam iguais ao valor da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade em x = 3 . Isso significa que o limite da função quando x se aproxima de 3 pela esquerda ( x to 3^- ) deve ser igual ao valor da função em x = 3 .
Temos:
limx to 3^- f(x) = limx to 3^- x^2-2x-3raizx+1-2
Vamos simplificar o numerador:
x^2-2x-3 = (x - 3)(x + 1)
Então, a função fica:
(x - 3)(x + 1)raizx+1-2
Perceba que, quando x to 3 , tanto o numerador quanto o denominador vão para zero, formando uma indeterminação do tipo 00 . Nesse caso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador.
Agora, o valor da função em x = 3 usando a segunda parte da definição:
f(3) = 3^2 + 3b - c = 9 + 3b - c
Para a continuidade, temos:
16 = 9 + 3b - c Rightarrow 3b - c = 7 (Equação 1) çã
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade em x = 4 . Similarmente, o limite da função quando x se aproxima de 4 pela direita ( x to 4^+ ) deve ser igual ao valor da função em x = 4 .
Primeiro, calculamos o limite pela direita:
limx to 4^+ f(x) = limx to 4^+ x^2-16x^2-4x
Simplificando o numerador e o denominador:
x^2-16 = (x - 4)(x + 4) x^2-4x = x(x - 4)
Então:
(x - 4)(x + 4)x(x - 4) = x + 4x (para x neq 4)
Agora, calculando o limite:
limx to 4^+ x + 4x = 4 + 44 = 84 = 2
O valor da função em x = 4 usando a segunda parte da definição:
f(4) = 4^2 + 4b - c = 16 + 4b - c
Para a continuidade, temos:
16 + 4b - c = 2 Rightarrow 4b - c = -14 (Equação 2) çã
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
3b - c = 7
4b - c = -14
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(4b - c) - (3b - c) = -14 - 7 4b - c - 3b + c = -21 b = -21
Agora, substituindo b = -21 na Equação 1:
3(-21) - c = 7 -63 - c = 7 -c = 7 + 63 -c = 70 c = -70
Resposta
Os valores que tornam a função contínua em todos os pontos são b = -21 e c = -70 .