Questão 5 (valor: 2, 0). Encontre a transformada de Fourier da função
y(t)= e^-t & se t >= 0 e^t & se t<0

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
y(t)= e^-t,&t>=0, e^t,&t<0
O conteúdo aqui é a definição da transformada de Fourier
Y(omega)=integral-infty^inftyy(t),e^-,iomega t,dt,
e vamos precisar dividir a integral nos dois ramos de t.

Passo 2

Separamos a integral em
Y(omega) =integral-infty^0e^te^-,iomega t,dt +integral0^inftye^-te^-,iomega t,dt

Passo 3

Calculamos o termo de t>=0:
integral0^inftye^-te^-,iomega t,dt =integral0^inftye^-(1+iomega)t,dt =gl[e^-(1+iomega)t-(1+iomega)gr]0^infty =11+iomega

Passo 4

Calculamos o termo de t<0: fazemos a troca u=-t, de modo que t=-u e u vai de 0 a infty:
integral-infty^0e^te^-,iomega t,dt =integral0^inftye^-ue^,iomega u,du =integral0^inftye^-(1-iomega)u,du =11-iomega

Passo 5

Somamos os dois resultados:
Y(omega) =11+iomega+11-iomega =(1-iomega)+(1+iomega)(1+iomega)(1-iomega) =21+omega^2

Resposta

Y(omega)=21+omega^2

Exercícios relacionados