Determine a solução de 4 y^prime prime-12 y^prime+9 y=0 com y(0)=0, y^prime(0)=3

Passo 1

Resumindo: resolver a EDO linear homogênea com coeficientes constantes
4y'' -12y' +9y =0
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=3. Para isso, vamos achar a equação característica e usar teoria de raízes múltiplas.

Passo 2

Escrevendo a equação característica:
4r^2 -12r +9 =0
Calculamos o discriminante De<a =(-12)^2 -4cdot4cdot9 =144 -144 =0.

Passo 3

Como De<a=0, a equação tem raiz dupla
r = 128 = 32
Pela teoria, quando há raiz de multiplicidade 2, a solução geral é
y(x) = (C1 + C2 x)e^32x

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais. Em x=0 vale
y(0) = C1 = 0,
logo C1=0. Em seguida, derivamos
y'(x) = C2 e^32xl(1 + tfrac32xr)
Em x=0 isso dá
y'(0) = C2 = 3,
logo C2=3.

Resposta

Substituindo C1 e C2, obtemos
y(x) = 3x e^32x

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