Considere a seguinte função definida em partes.
f(x)=rll 0 & se & x<0 C x & se & 0 <= x<0.9 20(1-x) & se & 0.9 <= x<1, 0 & se & x >= 1
Caso f(x) represente a densidade de uma variável aleatória X, então dizemos que X tem distribuição triangular no intervalo [0,1]. Qual valor deve ter a constante C para que f(x) seja de fato uma densidade?
(a) 20.00
(b) 0.90
© 1.80
(d) 2.00
(e) 2.22

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz respeito a uma função definida por partes que representa a densidade de uma variável aleatória $ X $. Queremos encontrar o valor da constante $ C $ para que essa função seja realmente uma densidade de probabilidade. Para isso, vamos precisar saber sobre funções de densidade e como elas devem se comportar, principalmente que a integral dessa função em todo o seu domínio seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para $ f(x) $ ser uma função de densidade de probabilidade, ela precisa satisfazer duas condições:
  1. Não-negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
  2. Integral igual a 1: A soma (ou integral) de todas as probabilidades deve ser 1, ou seja: f(x)
No nosso caso, a função $ f(x) $ já está definida para ser zero fora do intervalo f(x) >= 0 , então só precisamos nos preocupar com esse intervalo.

Passo 3

Vamos escrever a integral da função $ f(x) $ no intervalo f(x) e igualar a 1:
[0,1]
Substituindo a função por partes:
integral0^1 f(x) , dx = 1

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de $ Cx $ de 0 a 0.9:
Cx
Segundo, a integral de $ 20(1 - x) $ de 0.9 a 1:
integral0^0.9 Cx , dx = C [ x^22 ]0^0.9 = C ( 0.9^22 - 0 ) = C ( 0.812 ) = 0.405C
Calculando a integral interna:
20(1 - x)
Aplicando os limites:
integral0.9^1 20(1 - x) , dx = 20 [ integral0.9^1 (1 - x) , dx ]
Multiplicando por 20:
integral (1 - x) , dx = x - x^22

Passo 5

Agora, somamos as duas partes e igualamos a 1:
0.405C + 0.1 = 1
Resolvendo para $ C $:
C

Resposta

O valor da constante $ C $ deve ser aproximadamente 2.22.

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