Beleza, vamos lá! A questão diz respeito a uma função definida por partes que representa a densidade de uma variável aleatória $ X $. Queremos encontrar o valor da constante $ C $ para que essa função seja realmente uma densidade de probabilidade. Para isso, vamos precisar saber sobre funções de densidade e como elas devem se comportar, principalmente que a integral dessa função em todo o seu domínio seja igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para $ f(x) $ ser uma função de densidade de probabilidade, ela precisa satisfazer duas condições:
Não-negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
Integral igual a 1: A soma (ou integral) de todas as probabilidades deve ser 1, ou seja: f(x)
No nosso caso, a função $ f(x) $ já está definida para ser zero fora do intervalo f(x) >= 0 , então só precisamos nos preocupar com esse intervalo.
Passo 3
Vamos escrever a integral da função $ f(x) $ no intervalo f(x) e igualar a 1:
[0,1]
Substituindo a função por partes:
integral0^1 f(x) , dx = 1
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de $ Cx $ de 0 a 0.9:
Cx
Segundo, a integral de $ 20(1 - x) $ de 0.9 a 1:
integral0^0.9 Cx , dx = C [ x^22 ]0^0.9 = C ( 0.9^22 - 0 ) = C ( 0.812 ) = 0.405C