Sabe-se que o tempo de vida útil de uma certa marca de baterias automobilísticas é exponencialmente distribuído com média de 4 anos. Uma montadora precisa que as baterias que usa em seus veículos durem pelo menos 4 anos para que seu lucro não seja prejudicado. Se a montadora utilizou baterias da referida marca, qual a probabilidade de que uma dada bateria não gere prejuízo se já sobreviveu 3 anos?
(a) 0.075
(b) 0.472
© 0.676
(d) 0.221
(e) 0.779

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade envolvendo o tempo de vida útil de baterias que segue uma distribuição exponencial. A média de vida dessas baterias é de 4 anos. O que a montadora quer saber é: se uma bateria já durou 3 anos, qual a chance dela durar pelo menos mais 1 ano (totalizando 4 anos) para não dar prejuízo?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição exponencial tem uma propriedade muito legal chamada “memória sem memória” (memoryless). Isso significa que a probabilidade de a bateria durar mais tempo além de um certo ponto não depende de quanto tempo ela já durou. Formalmente, para uma variável aleatória $ T $ que segue uma distribuição exponencial, temos:
T

Passo 3

Agora, aplicando isso ao nosso problema: queremos calcular $ P(T \geq 4 \mid T \geq 3) $. Usando a propriedade da memória sem memória:
P(T >= 4 mid T >= 3)

Passo 4

Sabemos que a média ($ \mu mu çãéã \lambda $) é:
lambda

Passo 5

A função de sobrevivência para a distribuição exponencial é:
P(T >= t) = e^-lambda t
Então,
P(T >= 1) = e^-14 times 1 = e^-0.25 approx 0.779

Resposta

A probabilidade de a bateria não gerar prejuízo se já sobreviveu 3 anos é aproximadamente 0.779.

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