Suponha que a duração (em horas) de certa válvula seja uma variável aleatória
com função densidade
para
, e zero caso contrário. Qual é o tempo de vida esperado (em horas) dessa válvula?
(a) 12.0
(b) 1.0
© 5.5
(d) 3.0
(e) 8.0
(a) 12.0
(b) 1.0
© 5.5
(d) 3.0
(e) 8.0
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma válvula cuja duração em horas é representada por uma variável aleatória contínua $ X $ com a função densidade de probabilidade:
Queremos encontrar o tempo de vida esperado dessa válvula, ou seja, o valor esperado de $ X $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados a variáveis aleatórias contínuas e cálculo de integrais.
Passo 2
O valor esperado de uma variável aleatória contínua é calculado pela integral do produto da variável pela sua função densidade de probabilidade sobre todo o intervalo onde a densidade é diferente de zero. Matematicamente, é representado por:
Passo 3
No nosso caso, como $ f(x) = 0 $ para $ x \leq 2 $, a integral simplifica-se para o intervalo de $ x > 2 $:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, vamos calcular a integral de $ x^{-3} $:
Aplicando os limites de integração:
Calculando os limites:
Para $ x \to +\infty $:
Para $ x = 2 $:
Substituindo na expressão:
Resposta
A duração esperada da válvula é 3.0 horas.
Alternativa correta: (d) 3.0