Suponha que a duração (em horas) de certa válvula seja uma variável aleatória X com função densidade f(x)=24 x^-4 para x>2, e zero caso contrário. Qual é o tempo de vida esperado (em horas) dessa válvula?
(a) 12.0
(b) 1.0
© 5.5
(d) 3.0
(e) 8.0

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma válvula cuja duração em horas é representada por uma variável aleatória contínua $ X $ com a função densidade de probabilidade:
X á
Queremos encontrar o tempo de vida esperado dessa válvula, ou seja, o valor esperado de $ X $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados a variáveis aleatórias contínuas e cálculo de integrais.

Passo 2

O valor esperado de uma variável aleatória contínua é calculado pela integral do produto da variável pela sua função densidade de probabilidade sobre todo o intervalo onde a densidade é diferente de zero. Matematicamente, é representado por:
E(X) = integral-infty^+infty x cdot f(x) , dx

Passo 3

No nosso caso, como $ f(x) = 0 $ para $ x \leq 2 $, a integral simplifica-se para o intervalo de $ x > 2 $:
f(x) = 0

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
24 x^-4 cdot x = 24 x^-3
Então, a integral fica:
E(X) = 24 integral2^+infty x^-3 , dx
Agora, vamos calcular a integral de $ x^{-3} $:
x^-3
Aplicando os limites de integração:
integral x^-3 , dx = x^-2-2 + C = -12x^2 + C
Calculando os limites:
Para $ x \to +\infty $:
E(X) = 24 [ -12x^2 ]2^+infty
Para $ x = 2 $:
x to +infty
Substituindo na expressão:
-12x^2 to 0

Resposta

A duração esperada da válvula é 3.0 horas.
Alternativa correta: (d) 3.0

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