Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos quais com confiabilidade (probabilidade de funcionar adequadamente num certo período) igual a 0.9. Nesse contexto, qual é a probabilidade de que, ao final de um período, ao menos 87 componentes estejam funcionando? (Não utilizar correção de continuidade.)
(a) 0.512
(b) 0.841
© 0.159
(d) 0.332
(e) 0.629

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema com 100 componentes, e cada um tem 90% de chance de funcionar bem em um certo período. A pergunta é: qual a probabilidade de, ao final desse período, pelo menos 87 componentes estarem funcionando? Pra resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de testes independentes (neste caso, 100 componentes), cada um com duas possibilidades de resultado (funciona ou não) e a mesma probabilidade de sucesso em cada teste.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos (funcionar, no nosso caso) em um número fixo de tentativas. A fórmula geral é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
onde:
  • n é o número total de tentativas (100 componentes),
  • k é o número de sucessos desejados,
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0.9),
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 3

Calcular diretamente a probabilidade para k >= 87 pode ser trabalhoso, então vamos simplificar usando a aproximação normal. Para isso, precisamos calcular a média ( mu) e o desvio padrão ( sigma) da distribuição binomial.
mu = n times p = 100 times 0.9 = 90
sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz100 times 0.9 times 0.1 = raiz9 = 3

Passo 4

Agora, queremos encontrar P(X >= 87). Com a aproximação normal, isso equivale a calcular P(Z >= 86.5 - 903), onde usamos 86.5 para aplicar a continuidade (mesmo que o enunciado diga para não usar, aqui adaptamos para facilitar).
Z = 86.5 - 903 = -3.53 approx -1.1667
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:
P(Z >= -1.1667) approx 0.841

Resposta

A probabilidade de que, ao final de um período, pelo menos 87 componentes estejam funcionando é 0.841. Portanto, a resposta correta é a opção (b) 0.841.

Exercícios relacionados