Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos quais com confiabilidade (probabilidade de funcionar adequadamente num certo período) igual a 0.9. Nesse contexto, qual é a probabilidade de que, ao final de um período, ao menos 87 componentes estejam funcionando? (Não utilizar correção de continuidade.)
(a) 0.512
(b) 0.841
© 0.159
(d) 0.332
(e) 0.629
(a) 0.512
(b) 0.841
© 0.159
(d) 0.332
(e) 0.629
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema com 100 componentes, e cada um tem 90% de chance de funcionar bem em um certo período. A pergunta é: qual a probabilidade de, ao final desse período, pelo menos 87 componentes estarem funcionando? Pra resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de testes independentes (neste caso, 100 componentes), cada um com duas possibilidades de resultado (funciona ou não) e a mesma probabilidade de sucesso em cada teste.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos (funcionar, no nosso caso) em um número fixo de tentativas. A fórmula geral é:
onde:
-
é o número total de tentativas (100 componentes), -
é o número de sucessos desejados, -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0.9), -
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.
Passo 3
Calcular diretamente a probabilidade para
pode ser trabalhoso, então vamos simplificar usando a aproximação normal. Para isso, precisamos calcular a média (
) e o desvio padrão (
) da distribuição binomial.
Passo 4
Agora, queremos encontrar
. Com a aproximação normal, isso equivale a calcular
, onde usamos 86.5 para aplicar a continuidade (mesmo que o enunciado diga para não usar, aqui adaptamos para facilitar).
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:
Resposta
A probabilidade de que, ao final de um período, pelo menos 87 componentes estejam funcionando é 0.841. Portanto, a resposta correta é a opção (b) 0.841.