O dono de uma loja de roupas acredita que 35 \% das pessoas que entram em sua loja realizam alguma compra. Considere que a loja receba 10 clientes em uma manhã. Qual a probabilidade de que pelo menos 3 realizem uma compra?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Informação 1: Acredita-se que 35\% das pessoas que entram na loja compram. Vou anotar isso como a probabilidade de sucesso p=0,35.
  • Informação 2: A loja recebe 10 clientes em uma manhã. Vou anotar isso como o número de tentativas n=10.
  • Pergunta: Qual a probabilidade de que, dentre esses 10 clientes, pelo menos 3 realizem uma compra? Em notação de probabilidade a pergunta é: calcular P(X\ge 3), onde X é o número de clientes que compram.

Passo 2

Modelagem e escolha do método (explicação didática do que vou usar).
  • Quando temos um número fixo n de tentativas independentes, cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (compra ou não compra) e a probabilidade de compra é sempre a mesma ( p), então o número de sucessos X segue a distribuição binomial. Vou usar essa distribuição porque o enunciado encaixa exatamente nessas condições.
  • A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k dentre os n tentativas são sucessos;
  • p^{k} é a probabilidade das k tentativas selecionadas serem sucessos;
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade das outras n-k tentativas serem fracassos.
  • Aqui n=10 e p=0,35. Vou também usar q=1-p=0,65 para simplificar os cálculos.

Passo 3

Transformar a probabilidade pedida em algo mais fácil de calcular.
  • A probabilidade pedida é P(X\ge 3). É muito comum e prático calcular isso pelo complemento:
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-\bigl[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\bigr].
  • Vou calcular P(X=0), P(X=1) e P(X=2) usando a fórmula binomial e depois subtrair da unidade.

Passo 4

Calcular P(X=0).
  • Aplicando a fórmula com k=0:
P(X=0)=\binom{10}{0}\,p^{0}\,q^{10}=1\cdot 1\cdot q^{10}=q^{10}.
  • Vamos calcular q^{10} com q=0,65. Vou multiplicar passo a passo (para que dê para reproduzir sem calculadora):
\begin{aligned} q^{2}&=0,65^{2}=0,4225,\\\ q^{3}&=q^{2}\cdot0,65=0,274625,\\\ q^{4}&=0,274625\cdot0,65=0,17850625,\\\ q^{5}&=0,17850625\cdot0,65=0,1160290625,\\\ q^{6}&=0,1160290625\cdot0,65=0,075418890625,\\\ q^{7}&=0,075418890625\cdot0,65=0,04902227890625,\\\ q^{8}&=0,04902227890625\cdot0,65=0,0318644812890625,\\\ q^{9}&=0,0318644812890625\cdot0,65=0,020711912838890625,\\\ q^{10}&=0,020711912838890625\cdot0,65=0,013462743345279906. \end{aligned}
  • Portanto
P(X=0)\approx 0,013462743345279906.

Passo 5

Calcular P(X=1).
  • Fórmula com k=1:
P(X=1)=\binom{10}{1}\,p^{1}\,q^{9}=10\cdot p\cdot q^{9}.
  • Já temos q^{9}\approx 0,020711912838890625 e p=0,35. Então
P(X=1)=10\cdot 0,35\cdot 0,020711912838890625.
  • Calcule passo a passo:
10\cdot 0,35=3,5, \qquad 3,5\cdot 0,020711912838890625\approx 0,07249169493611719.
  • Portanto
P(X=1)\approx 0,07249169493611719.

Passo 6

Calcular P(X=2).
  • Fórmula com k=2:
P(X=2)=\binom{10}{2}\,p^{2}\,q^{8}.
  • Primeiro calcule a combinação \binom{10}{2}:
\binom{10}{2}=\frac{10\cdot 9}{2\cdot 1}=45.
  • Já temos q^{8}\approx 0,0318644812890625 e p^{2}=0,35^{2}=0,1225. Então
P(X=2)=45\cdot 0,1225\cdot 0,0318644812890625.
  • Calcule passo a passo:
0,1225\cdot 0,0318644812890625\approx 0,00390339895791015625,
45\cdot 0,00390339895791015625\approx 0,17565295310595703.
  • Portanto
P(X=2)\approx 0,17565295310595703.

Passo 7

Somar P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) e obter P(X\ge 3).
  • Soma dos três primeiros termos:
\begin{aligned} P(X\le 2)&=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\\ &\approx 0,013462743345279906+0,07249169493611719+0,17565295310595703\\\ &\approx 0,2616073913873541. \end{aligned}
  • Assim
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)\approx 1-0,2616073913873541\approx 0,7383926086126459.
  • Arredondando para quatro casas decimais (prática comum em provas):
P(X\ge 3)\approx 0,7384.

Passo 8

Dica rápida para a prova (resumindo a estratégia): usar a distribuição binomial e o complemento P(X\ge 3)=1-P(X\le 2) costuma tornar os cálculos bem mais fáceis do que somar diretamente muitos termos. Se tiver calculadora, pode calcular direto; se não, faça as potências de q uma a uma como fiz acima.

Resposta

P(X\ge 3)=0,7384

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