O dono de uma loja de roupas acredita que
das pessoas que entram em sua loja realizam alguma compra. Considere que a loja receba 10 clientes em uma manhã. Qual a probabilidade de que pelo menos 3 realizem uma compra?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Informação 1: Acredita-se que
das pessoas que entram na loja compram. Vou anotar isso como a probabilidade de sucesso . - Informação 2: A loja recebe
clientes em uma manhã. Vou anotar isso como o número de tentativas . - Pergunta: Qual a probabilidade de que, dentre esses
clientes, pelo menos realizem uma compra? Em notação de probabilidade a pergunta é: calcular , onde é o número de clientes que compram.
Passo 2
Modelagem e escolha do método (explicação didática do que vou usar).
- Quando temos um número fixo
de tentativas independentes, cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (compra ou não compra) e a probabilidade de compra é sempre a mesma ( ), então o número de sucessos segue a distribuição binomial. Vou usar essa distribuição porque o enunciado encaixa exatamente nessas condições. - A fórmula da probabilidade binomial é:
onde:
-
é o número de maneiras de escolher quais dentre os tentativas são sucessos; -
é a probabilidade das tentativas selecionadas serem sucessos; -
é a probabilidade das outras tentativas serem fracassos. - Aqui
e . Vou também usar para simplificar os cálculos.
Passo 3
Transformar a probabilidade pedida em algo mais fácil de calcular.
- A probabilidade pedida é
. É muito comum e prático calcular isso pelo complemento:
- Vou calcular
, e usando a fórmula binomial e depois subtrair da unidade.
Passo 4
Calcular
.
- Aplicando a fórmula com
:
- Vamos calcular
com . Vou multiplicar passo a passo (para que dê para reproduzir sem calculadora):
- Portanto
Passo 5
Calcular
.
- Fórmula com
:
- Já temos
e . Então
- Calcule passo a passo:
- Portanto
Passo 6
Calcular
.
- Fórmula com
:
- Primeiro calcule a combinação
:
- Já temos
e . Então
- Calcule passo a passo:
- Portanto
Passo 7
Somar
e obter
.
- Soma dos três primeiros termos:
- Assim
- Arredondando para quatro casas decimais (prática comum em provas):
Passo 8
Dica rápida para a prova (resumindo a estratégia): usar a distribuição binomial e o complemento
costuma tornar os cálculos bem mais fáceis do que somar diretamente muitos termos. Se tiver calculadora, pode calcular direto; se não, faça as potências de
uma a uma como fiz acima.