Considere a seguinte função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X :
f(x)= \begin{cases}0,06+0,04 x & \text { para } 1 \leq x \leq 6 ; \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}
Calcule a média e variância da variável X.
Passo 1
O enunciado dá a densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X\):
\[f(x)= \begin{cases}0,06+0,04 x & \text{para } 1 \leq x \leq 6; \\[4pt] 0 & \text{caso contrário.} \end{cases}
O que é pedido:
Calcular a média (esperança matemática) de X\].
- Calcular a variância de \(X.
Informações relevantes fornecidas:
A função f(x) é definida e diferente de zero apenas no intervalo [1,6].
Os coeficientes são 0,06 e 0,04 (usar vírgula para decimais como no enunciado).]
Passo 2
Primeiro é sempre bom verificar que f(x) é realmente uma densidade, ou seja, que
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [1,6], basta calcular a integral em [1,6]:
\int_{1}^{6} \bigl(0,06+0,04x\bigr)\,dx.
Vou calcular a integral passo a passo.
Passo 3
Calcular a integral de normalização:
Antiderivada de 0,06 em relação a x é 0,06x.
Antiderivada de 0,04x é 0,04\cdot \dfrac{x^{2}}{2}=0,02x^{2}.
Portanto