Considere a seguinte função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X :
f(x)= \begin{cases}0,06+0,04 x & \text { para } 1 \leq x \leq 6 ; \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}á
Calcule a média e variância da variável X.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X\): \[f(x)= \begin{cases}0,06+0,04 x & \text{para } 1 \leq x \leq 6; \\[4pt] 0 & \text{caso contrário.} \end{cases}
O que é pedido:
  • Calcular a média (esperança matemática) de X\]. - Calcular a variância de \(X.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f(x) é definida e diferente de zero apenas no intervalo [1,6].
  • Os coeficientes são 0,06 e 0,04 (usar vírgula para decimais como no enunciado).]

Passo 2

Primeiro é sempre bom verificar que f(x) é realmente uma densidade, ou seja, que
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [1,6], basta calcular a integral em [1,6]:
\int_{1}^{6} \bigl(0,06+0,04x\bigr)\,dx.
Vou calcular a integral passo a passo.

Passo 3

Calcular a integral de normalização:
Antiderivada de 0,06 em relação a x é 0,06x.
Antiderivada de 0,04x é 0,04\cdot \dfrac{x^{2}}{2}=0,02x^{2}.
Portanto
\int_{1}^{6} \bigl(0,06+0,04x\bigr)\,dx = \bigl[\,0,06x+0,02x^{2}\,\bigr]_{1}^{6}.

Passo 4

Avaliação nos extremos:
\bigl[\,0,06x+0,02x^{2}\,\bigr]_{1}^{6} = \bigl(0,06\cdot 6 + 0,02\cdot 6^{2}\bigr) - \bigl(0,06\cdot 1 + 0,02\cdot 1^{2}\bigr).
Calcule cada termo:
0,06\cdot 6 = 0,36,\qquad 0,02\cdot 6^{2}=0,02\cdot 36=0,72,
logo o valor em 6 é 0,36+0,72=1,08.
No ponto 1:
0,06\cdot 1 = 0,06,\qquad 0,02\cdot 1^{2}=0,02,
logo o valor em 1 é 0,06+0,02=0,08.
Subtraindo:
1,08-0,08=1.
Portanto f está normalizada: é uma densidade válida.

Passo 5

Agora vamos à média. Definição: a média (esperança) de X para variável contínua é
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Como f(x) é não nula apenas em [1,6], usamos
\mathbb{E}[X]=\int_{1}^{6} x\bigl(0,06+0,04x\bigr)\,dx.
Expandindo o integrando:
x\bigl(0,06+0,04x\bigr)=0,06x+0,04x^{2}.

Passo 6

Calcular a integral para \mathbb{E}[X]:
Antiderivadas:
\int 0,06x\,dx = 0,06\cdot \frac{x^{2}}{2}=0,03x^{2}, \qquad \int 0,04x^{2}\,dx = 0,04\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{75}.
Portanto
\mathbb{E}[X]=\bigl[\,0,03x^{2}+\tfrac{x^{3}}{75}\,\bigr]_{1}^{6}.

Passo 7

Avaliação nos extremos para a esperança:
No ponto x=6:
0,03\cdot 6^{2}=0,03\cdot 36=1,08, \qquad \tfrac{6^{3}}{75}=\tfrac{216}{75}=2,88,
soma 1,08+2,88=3,96.
No ponto x=1:
0,03\cdot 1^{2}=0,03, \qquad \tfrac{1^{3}}{75}=\tfrac{1}{75}\approx0,013333\ldots,
soma 0,03+0,013333\ldots = 0,043333\ldots.
Subtraindo:
\mathbb{E}[X]=3,96-0,043333\ldots = 3,916666\ldots
Como fração exata obtém-se
\mathbb{E}[X]=\frac{47}{12}\approx 3,916666\ldots

Passo 8

Para a variância, uso a identidade prática
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}\bigl[X^{2}\bigr]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^{2}.
Então preciso calcular \mathbb{E}[X^{2}], onde
\mathbb{E}[X^{2}]=\int_{1}^{6} x^{2}\bigl(0,06+0,04x\bigr)\,dx = \int_{1}^{6} \bigl(0,06x^{2}+0,04x^{3}\bigr)\,dx.

Passo 9

Calcular \mathbb{E}[X^{2}] passo a passo.
Antiderivadas:
\int 0,06x^{2}\,dx = 0,06\cdot \frac{x^{3}}{3}=0,02x^{3}, \qquad \int 0,04x^{3}\,dx = 0,04\cdot \frac{x^{4}}{4}=0,01x^{4}.
Logo
\mathbb{E}[X^{2}]=\bigl[\,0,02x^{3}+0,01x^{4}\,\bigr]_{1}^{6}.

Passo 10

Avaliação nos extremos para \mathbb{E}[X^{2}]:
No ponto x=6:
0,02\cdot 6^{3}=0,02\cdot 216=4,32, \qquad 0,01\cdot 6^{4}=0,01\cdot 1296=12,96,
soma 4,32+12,96=17,28.
No ponto x=1:
0,02\cdot 1^{3}=0,02, \qquad 0,01\cdot 1^{4}=0,01,
soma 0,02+0,01=0,03.
Subtraindo:
\mathbb{E}[X^{2}]=17,28-0,03=17,25.
Em forma fracionária exata: \mathbb{E}[X^{2}]=\dfrac{69}{4}=17,25.

Passo 11

Agora a variância:
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^{2} = \frac{69}{4} - \left(\frac{47}{12}\right)^{2}.
Calcule \left(\dfrac{47}{12}\right)^{2}=\dfrac{2209}{144}.
Escrevendo \dfrac{69}{4} com denominador 144: \dfrac{69}{4}=\dfrac{69\cdot 36}{144}=\dfrac{2484}{144}.
Fazendo a diferença:
\mathrm{Var}(X)=\dfrac{2484}{144}-\dfrac{2209}{144}=\dfrac{275}{144}.
Em decimal:
\mathrm{Var}(X)=\dfrac{275}{144}\approx 1,909722\ldots

Resposta

\mathbb{E}[X]=\dfrac{47}{12}\approx 3,916666\ldots
\mathrm{Var}(X)=\dfrac{275}{144}\approx 1,909722\ldots

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