Uma pesquisa foi realizada para analisar a relação entre o número de anos de experiência de vendedores X e suas vendas mensais Y (em unidades de produtos). A tabela de probabilidades conjuntas P(X, Y) é dada abaixo.
X Y P(X, Y)
1 100 0,10
1 200 0,20
2 100 0,15
2 200 0,25
3 100 0,10
3 200 0,20
Calcule o coeficiente de correlação rhoX Y entre a experiência dos vendedores X e suas vendas mensais Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o coeficiente de correlação rhoXY entre a experiência dos vendedores (X) e suas vendas mensais (Y). Isso faz parte da matéria de Probabilidade e Estatística, especificamente no estudo de variáveis aleatórias e correlação. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar médias, variâncias, covariâncias e, por fim, a correlação entre duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as informações que temos. A tabela nos dá as probabilidades conjuntas P(X, Y) para diferentes combinações de anos de experiência (X) e vendas mensais (Y):
X Y P(X,Y)
1 100 0,10
1 200 0,20
2 100 0,15
2 200 0,25
3 100 0,10
3 200 0,20

Passo 3

Para começar, vamos encontrar as probabilidades marginais de X e Y. Isso significa somar as probabilidades para cada valor de X e para cada valor de Y separadamente.
  • Probabilidade Marginal de X ( P(X)):
    • P(X=1) = 0,10 + 0,20 = 0,30
    • P(X=2) = 0,15 + 0,25 = 0,40
    • P(X=3) = 0,10 + 0,20 = 0,30
  • Probabilidade Marginal de Y ( P(Y)):
    • P(Y=100) = 0,10 + 0,15 + 0,10 = 0,35
    • P(Y=200) = 0,20 + 0,25 + 0,20 = 0,65

Passo 4

Agora, vamos calcular as esperanças (ou médias) de X e Y, que representam o valor médio esperado de cada variável.
  • Esperança de X ( E[X]):
    E[X] = sum x cdot P(X=x) = 1 cdot 0,30 + 2 cdot 0,40 + 3 cdot 0,30 = 0,30 + 1,60 + 0,90 = 2,80
  • Esperança de Y ( E[Y]):
    E[Y] = sum y cdot P(Y=y) = 100 cdot 0,35 + 200 cdot 0,65 = 35 + 130 = 165

Passo 5

Vamos calcular também as esperanças dos quadrados de X e Y, necessárias para encontrar as variâncias.
  • Esperança de X^2 ( E[X^2]):
    E[X^2] = sum x^2 cdot P(X=x) = 1^2 cdot 0,30 + 2^2 cdot 0,40 + 3^2 cdot 0,30 = 1 cdot 0,30 + 4 cdot 0,40 + 9 cdot 0,30 = 0,30 + 1,60 + 2,70 = 4,60
  • Esperança de Y^2 ( E[Y^2]):
    E[Y^2] = sum y^2 cdot P(Y=y) = 100^2 cdot 0,35 + 200^2 cdot 0,65 = 10.000 cdot 0,35 + 40.000 cdot 0,65 = 3.500 + 26.000 = 29.500

Passo 6

Agora, vamos calcular a esperança do produto XY ( E[XY]), que é essencial para encontrar a covariância entre X e Y.
E[XY] = sum x cdot y cdot P(X,Y)
Calculando cada termo:
E[XY] &= 1 cdot 100 cdot 0,10 + 1 cdot 200 cdot 0,20 + 2 cdot 100 cdot 0,15 & + 2 cdot 200 cdot 0,25 + 3 cdot 100 cdot 0,10 + 3 cdot 200 cdot 0,20 &= 10 + 40 + 30 + 100 + 30 + 120 &= 330

Passo 7

Com todas essas informações, podemos calcular a covariância entre X e Y ( Cov(X,Y)):
Cov(X,Y) = E[XY] - E[X] cdot E[Y]
Substituindo os valores:
Cov(X,Y) = 330 - (2,00 cdot 165) = 330 - 330 = 0

Passo 8

Agora, precisamos das variâncias de X ( Var(X)) e de Y ( Var(Y)):
  • Variância de X: Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 4,60 - (2,80)^2 = 4,60 - 7,84 = -3,24
Aqui percebemos que a variância deu negativa, o que não é possível, indicando que houve um erro no cálculo da esperança de X. Vamos revisar:
Correção no Passo 4:
Vamos recalcular E[X] corretamente:
E[X] = sum x cdot P(X=x) = 1 cdot 0,30 + 2 cdot 0,40 + 3 cdot 0,30 = 0,30 + 0,80 + 0,90 = 2,00
Recalculando Var(X):
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 4,60 - (2,00)^2 = 4,60 - 4,00 = 0,60
  • Variância de Y: Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 29.500 - (165)^2 = 29.500 - 27.225 = 2.275

Passo 9

Finalmente, vamos calcular o coeficiente de correlação rhoXY:
rhoXY = Cov(X,Y)raizVar(X) cdot raizVar(Y)
Substituindo os valores:
rhoXY = 0raiz0,60 cdot raiz2,275 = 0qualquer número = 0ú

Resposta

O coeficiente de correlação entre a experiência dos vendedores e suas vendas mensais é rhoXY = 0.

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