Uma pesquisa foi realizada para analisar a relação entre o número de anos de experiência de vendedores X e suas vendas mensais Y (em unidades de produtos). A tabela de probabilidades conjuntas
é dada abaixo.
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---|---|---|
1 | 100 | 0,10 |
1 | 200 | 0,20 |
2 | 100 | 0,15 |
2 | 200 | 0,25 |
3 | 100 | 0,10 |
3 | 200 | 0,20 |
Calcule o coeficiente de correlação
entre a experiência dos vendedores X e suas vendas mensais Y.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o coeficiente de correlação
entre a experiência dos vendedores (X) e suas vendas mensais (Y). Isso faz parte da matéria de Probabilidade e Estatística, especificamente no estudo de variáveis aleatórias e correlação. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar médias, variâncias, covariâncias e, por fim, a correlação entre duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as informações que temos. A tabela nos dá as probabilidades conjuntas
para diferentes combinações de anos de experiência (X) e vendas mensais (Y):
X | Y | P(X,Y) |
---|---|---|
1 | 100 | 0,10 |
1 | 200 | 0,20 |
2 | 100 | 0,15 |
2 | 200 | 0,25 |
3 | 100 | 0,10 |
3 | 200 | 0,20 |
Passo 3
Para começar, vamos encontrar as probabilidades marginais de X e Y. Isso significa somar as probabilidades para cada valor de X e para cada valor de Y separadamente.
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Probabilidade Marginal de X (
): -
-
Probabilidade Marginal de Y (
): -
Passo 4
Agora, vamos calcular as esperanças (ou médias) de X e Y, que representam o valor médio esperado de cada variável.
-
Esperança de X (
): -
Esperança de Y (
):
Passo 5
Vamos calcular também as esperanças dos quadrados de X e Y, necessárias para encontrar as variâncias.
-
Esperança de
( ): -
Esperança de
( ):
Passo 6
Agora, vamos calcular a esperança do produto
(
), que é essencial para encontrar a covariância entre X e Y.
Calculando cada termo:
Passo 7
Com todas essas informações, podemos calcular a covariância entre X e Y (
):
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, precisamos das variâncias de X (
) e de Y (
):
- Variância de X:
Aqui percebemos que a variância deu negativa, o que não é possível, indicando que houve um erro no cálculo da esperança de X. Vamos revisar:
Correção no Passo 4:
Vamos recalcular
corretamente:
Recalculando
:
- Variância de Y:
Passo 9
Finalmente, vamos calcular o coeficiente de correlação
:
Substituindo os valores:
Resposta
O coeficiente de correlação entre a experiência dos vendedores e suas vendas mensais é
.