Considere a seguinte função discreta:
p(x)=(x+1)^2+k,
com x=-3,-2,-1,0,1 e k in R. Determine se tal função pode ser uma FMP.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função discreta p(x) = (x+1)^2 + k definida em xin-3,-2,-1,0,1. Queremos verificar se existe kin R que torne p uma função massa de probabilidade (FMP), isto é, satisfazendo p(x)>=0 e sumx p(x)=1.

Passo 2

Condição de não-negatividade: para todo x, p(x)>=0 implica (x+1)^2 + k >= 0. Os valores de (x+1)^2 em x=-3,-2,-1,0,1 são 4,1,0,1,4, cujo mínimo é 0 (em x=-1). Logo, é necessário k>=0.

Passo 3

Condição de normalização: precisamos de
sumx=-3^1 p(x) = 1
Como p(x) = (x+1)^2 + k, temos
sumx=-3^1 (x+1)^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10, sumx=-3^1 p(x) = 10 + 5k

Passo 4

Impondo 10 + 5k = 1 resulta em k = -9/5.

Passo 5

Conclusão: o valor k = -9/5 violaria a condição k>=0, portanto não existe nenhum kin R que satisfaça simultaneamente p(x)>=0 e sum p(x)=1.

Resposta

Não existe valor de k que torne p(x) uma função massa de probabilidade.

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