Dada a seguinte FMP,
|c|c|c|c|c|c| hline$x$ & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 hline hline$p(x)$ & $18$ & $28$ & $28$ & $28$ & $18$ hline -2 -1 0 1 2
P(-1 <= X<1) Y=2 X-3
, determine
(a)
(b) A função de probabilidade acumulada.
© A média e variância de .

Passo 1

O exercício dá uma variável aleatória discreta X com função massa de probabilidade (FMP) em x=−2,−1,0,1,2 e pede: (a) uma probabilidade de intervalo, (b) a função de distribuição acumulada (CDF) e © a média e variância de Y=2X−3. Vamos usar teoria de probabilidade discreta, definição de CDF e propriedades de transformações lineares de variáveis aleatórias.

Passo 2

Para calcular P(−1≤X<1) somamos as probabilidades em X=−1 e X=0, ou seja: P(−1≤X<1)=p(−1)+p(0)=28+28=48=12

Passo 3

A função de distribuição acumulada F(x)=P(X≤x) é uma função em partes. Para cada intervalo entre os pontos de massa temos:
– Para x<−2: F(x)=0.
– Para −2≤x<−1: F(x)=P(X=−2)=1/8.
– Para −1≤x<0: F(x)=P(X≤−1)=1/8+2/8=3/8.
– Para 0≤x<1: F(x)=P(X≤0)=3/8+2/8=5/8.
– Para 1≤x<2: F(x)=P(X≤1)=5/8+2/8=7/8.
– Para x≥2: F(x)=1.

Passo 4

Agora calculamos E[X] e Var(X). Usamos
E[X]=sumx x,p(x)=(-2)18+(-1)28+028+128+218=0,
E[X^2]=418+128+0+128+418=128=32,
Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=32-0^2=32

Passo 5

Para Y=2X−3 usamos propriedades lineares:
E[Y]=2E[X]-3=2cdot0-3=-3,
Var(Y)=2^2Var(X)=4cdot32=6

Resposta

(a) P(-1<= X<1)=tfrac12. (b) A CDF é dada por: F(x)=0 se x< -2; F(x)=tfrac18 se -2<= x< -1; F(x)=tfrac38 se -1<= x<0; F(x)=tfrac58 se 0<= x<1; F(x)=tfrac78 se 1<= x<2; F(x)=1 se x>=2. © E[Y]=-3 e Var(Y)=6.

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