Dada a seguinte FMP,
-2
-1
0
1
2
, determine
(a)
(b) A função de probabilidade acumulada.
© A média e variância de
.
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-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
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(b) A função de probabilidade acumulada.
© A média e variância de
Passo 1
O exercício dá uma variável aleatória discreta X com função massa de probabilidade (FMP) em x=−2,−1,0,1,2 e pede: (a) uma probabilidade de intervalo, (b) a função de distribuição acumulada (CDF) e © a média e variância de Y=2X−3. Vamos usar teoria de probabilidade discreta, definição de CDF e propriedades de transformações lineares de variáveis aleatórias.
Passo 2
Para calcular P(−1≤X<1) somamos as probabilidades em X=−1 e X=0, ou seja:
Passo 3
A função de distribuição acumulada F(x)=P(X≤x) é uma função em partes. Para cada intervalo entre os pontos de massa temos:
– Para x<−2: F(x)=0.
– Para −2≤x<−1: F(x)=P(X=−2)=1/8.
– Para −1≤x<0: F(x)=P(X≤−1)=1/8+2/8=3/8.
– Para 0≤x<1: F(x)=P(X≤0)=3/8+2/8=5/8.
– Para 1≤x<2: F(x)=P(X≤1)=5/8+2/8=7/8.
– Para x≥2: F(x)=1.
– Para x<−2: F(x)=0.
– Para −2≤x<−1: F(x)=P(X=−2)=1/8.
– Para −1≤x<0: F(x)=P(X≤−1)=1/8+2/8=3/8.
– Para 0≤x<1: F(x)=P(X≤0)=3/8+2/8=5/8.
– Para 1≤x<2: F(x)=P(X≤1)=5/8+2/8=7/8.
– Para x≥2: F(x)=1.
Passo 4
Agora calculamos E[X] e Var(X). Usamos
Passo 5
Para Y=2X−3 usamos propriedades lineares:
Resposta
(a)
. (b) A CDF é dada por:
se
;
se
;
se
;
se
;
se
;
se
. ©
e
.