Considere a seguinte função de distribuição acumulada:
F(x)=lc 0, & se x <= 1 k(x-1)^2, & se 13
obtenha a P(0 <= X <= 1,5);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de distribuição acumulada $ F(x) $ que descreve como a probabilidade se acumula até certos valores de $ x $. Nosso objetivo aqui é encontrar a probabilidade de que a variável $ X $ esteja entre 0 e 1,5, ou seja, $ \mathrm{P}(0 \leq \mathrm{X} \leq 1,5) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a função $ F(x) $ está definida em diferentes intervalos de $ x $ e descobrir o valor da constante $ k $ que garante que $ F(x) $ seja uma função de distribuição válida.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que $ F(x) $ seja uma função de distribuição acumulada válida. Uma propriedade essencial é que $ F(x) $ deve chegar a 1 quando $ x $ tende ao infinito. No nosso caso, temos que para $ x > 3 $, $ F(x) = 1 $.
Vamos usar isso para encontrar $ k $. Sabemos que quando $ x = 3 $:
F(x)
Resolvendo para $ k $:
F(x)

Passo 3

Agora que sabemos que $ k = \frac{1}{4} $, podemos reescrever a função de distribuição acumulada:
k = 14
Queremos encontrar $ \mathrm{P}(0 \leq \mathrm{X} \leq 1,5) $, que é basicamente $ F(1,5) - F(0) $.

Passo 4

Vamos calcular $ F(1,5) $:
Como $ 1 < 1,5 \leq 3 $, usamos a segunda parte da função:
F(1,5)
E $ F(0) $:
Como $ 0 \leq 1 $, usamos a primeira parte da função:
1 < 1,5 <= 3

Resposta

Portanto, a probabilidade é:
P(0 <= X <= 1,5) = F(1,5) - F(0) = 116 - 0 = 116

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