Suponha que X seja uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade:
f(x)=1 / 2, se -1 <= x <= 1
Seja Y = 3-X^2. Ache a função densidade de Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com densidade de probabilidade $ f(x) = \frac{1}{2} $ para $ -1 \leq x \leq 1 $. A gente quer achar a função densidade da nova variável $ Y = 3 - X^2 $. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso, usando conceitos básicos de transformação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com $ Y = 3 - X^2 $. Isso significa que, para cada valor de $ X $, a gente calcula $ Y $ subtraindo o quadrado de $ X $ de 3. Nosso objetivo é encontrar $ f_Y(y) $, a densidade de $ Y $.

Passo 3

Para encontrar a função densidade de $ Y $, vamos usar a fórmula de transformação de variáveis para funções contínuas. A fórmula geral é:
Y
Aqui, $ x_i $ são os valores de $ X $ que satisfazem $ Y = 3 - X^2 $.

Passo 4

Vamos resolver $ Y = 3 - X^2 $ para $ X $:
Y = 3 - X^2
Então, para cada $ y $, existem dois valores de $ X $: $ \sqrt{3 - y} $ e $ -\sqrt{3 - y} $.

Passo 5

Agora, precisamos achar $ \frac{dx}{dy} $. Diferenciando $ Y = 3 - X^2 $ em relação a $ X $:
dxdy
Como estamos interessados no módulo dessa derivada:
Y = 3 - X^2

Passo 6

Substituindo os valores de $ X $ na expressão acima:
X

Passo 7

Agora, aplicando a fórmula de transformação de variáveis:
fY(y) = fX(raiz3 - y) cdot 12raiz3 - y + fX(-raiz3 - y) cdot 12raiz3 - y
Sabemos que $ f_X(x) = \frac{1}{2} $ para $ -1 \leq x \leq 1 $, então:
fX(x) = 12

Resposta

A função densidade de $ Y $ é:
Y

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