Suponha que a duração da vida (em horas) de uma certa válvula seja uma variável aleatória contínua X com função densidade f(x)=100 / x^2, para x>100, e zero para quaisquer outros valores de x.
Se 3 dessas válvulas forem instaladas em conjunto, qual será a probabilidade de que exatamente uma delas tenha de ser substituída após 180 horas de serviço?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a duração da vida de uma válvula, que é uma variável aleatória contínua. A função de densidade é dada por $ f(x) = \frac{100}{x^2} $ para $ x > 100 $ horas e zero para outros valores. Precisamos descobrir a probabilidade de que, ao instalar 3 dessas válvulas juntas, exatamente uma precise ser substituída após 180 horas de uso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa substituir uma válvula após 180 horas. Isso acontece se a vida útil da válvula for menor ou igual a 180 horas. Ou seja, queremos encontrar a probabilidade de que $ X \leq 180 $.

Passo 3

Para isso, vamos calcular a função de distribuição acumulada (CDF) $ F(x) $. A CDF nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor. A CDF é a integral da função de densidade:
F(x)

Passo 4

Calculando a integral:
F(x) = [ -100t ]100^x = -100x + 100100 = 1 - 100x

Passo 5

Agora, vamos calcular $ F(180) $, que é a probabilidade de uma válvula precisar ser substituída após 180 horas:
F(180)
Então, a probabilidade de uma válvula falhar até 180 horas é $ \frac{4}{9} $.

Passo 6

Como temos 3 válvulas independentes, queremos a probabilidade de exatamente uma delas falhar até 180 horas. Isso segue uma distribuição binomial, onde:
  • Número de tentativas ($ n $) = 3
  • Probabilidade de sucesso ($ p $) = $ \frac{4}{9} $
  • Sucesso é a válvula falhar até 180 horas
A fórmula da distribuição binomial é:
n

Passo 7

Aplicando os valores:
P(1) = binom31 ( 49 )^1 ( 59 )^2 = 3 times 49 times 2581 = 300729 = 100243

Resposta

A probabilidade de que exatamente uma das 3 válvulas precise ser substituída após 180 horas de serviço é $ \frac{100}{243} $ ou aproximadamente 0,4115 (41,15 %).

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