O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função densidade dada por:
a) Determine o valor de k;
b) Calcule
;
b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de funções de densidade de probabilidade para variáveis aleatórias contínuas. Precisamos usar conceitos de integração para encontrar o valor de $ k $ que faz a função $ f(x) $ ser uma densidade válida. Além disso, vamos calcular uma probabilidade condicional usando integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ k $ que faz $ f(x) $ ser uma função de densidade válida. Uma função de densidade deve satisfazer que a integral dela em todo o espaço é igual a 1. No nosso caso, a função $ f(x) $ é diferente de zero apenas entre 0 e 1, então vamos integrar de 0 a 1:
Passo 3
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos $ 2x $:
Depois, integramos $ -x^2 $:
Então, a integral completa fica:
Passo 4
Agora, substituímos os limites na expressão:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = 0 $:
Portanto, a integral é:
Passo 5
Resolvendo para $ k $:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b) calcular a probabilidade condicionada $ P\left(0 \leq X \leq \frac{3}{4} \mid X > \frac{1}{4}\right) $. Isso significa que queremos saber a probabilidade de $ X $ estar entre 0 e $ \frac{3}{4} $ dado que já sabemos que $ X $ é maior que $ \frac{1}{4} $.
Passo 7
A fórmula para a probabilidade condicionada é:
No nosso caso:
- $ A $ é $ 0 \leq X \leq \frac{3}{4} $
- $ B $ é $ X > \frac{1}{4} $
Então:
Passo 8
Vamos calcular $ P\left(\frac{1}{4} < X \leq \frac{3}{4}\right) $ e $ P\left(X > \frac{1}{4}\right) $ usando a função de densidade $ f(x) $.
Primeiro, lembre-se que $ k = \frac{3}{2} $, então $ f(x) = \frac{3}{2}(2x - x^2) $.
Passo 9
Calculando $ P\left(\frac{1}{4} < X \leq \frac{3}{4}\right) $:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 10
Integrando $ 2x $:
Integrando $ -x^2 $:
Então, a integral fica:
Passo 11
Calculando para $ x = \frac{3}{4} $:
Para $ x = \frac{1}{4} $:
Subtraindo:
Multiplicando por $ \frac{3}{2} $:
Passo 12
Agora, calculamos $ P\left(X > \frac{1}{4}\right) $:
Usando o mesmo cálculo anterior, já sabemos que $ \int_{\frac{1}{4}}^{1} f(x) , dx = 1 - P\left(0 \leq X \leq \frac{1}{4}\right) $. Mas para simplificar, podemos calcular diretamente:
Integrando de $ \frac{1}{4} $ a 1:
Passo 13
Agora, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
Resposta
b) A probabilidade $ P\left(0 \leq X \leq \frac{3}{4} \mid X > \frac{1}{4}\right) $ é $ \frac{14}{25} $.