O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função densidade dada por:
f(x)=c k(2 x-x^2), se 0 <= x <= 1 0, se x<0 ou x>1
a) Determine o valor de k;
b) Calcule P(0 <= X <= 3 / 4 mid X>1 / 4);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de funções de densidade de probabilidade para variáveis aleatórias contínuas. Precisamos usar conceitos de integração para encontrar o valor de $ k $ que faz a função $ f(x) $ ser uma densidade válida. Além disso, vamos calcular uma probabilidade condicional usando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ k $ que faz $ f(x) $ ser uma função de densidade válida. Uma função de densidade deve satisfazer que a integral dela em todo o espaço é igual a 1. No nosso caso, a função $ f(x) $ é diferente de zero apenas entre 0 e 1, então vamos integrar de 0 a 1:
k

Passo 3

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos $ 2x $:
2x
Depois, integramos $ -x^2 $:
integral 2x , dx = x^2
Então, a integral completa fica:
-x^2

Passo 4

Agora, substituímos os limites na expressão:
Para $ x = 1 $:
x = 1
Para $ x = 0 $:
1^2 - 1^33 = 1 - 13 = 23
Portanto, a integral é:
x = 0

Passo 5

Resolvendo para $ k $:
k

Passo 6

Agora, vamos para a parte b) calcular a probabilidade condicionada $ P\left(0 \leq X \leq \frac{3}{4} \mid X > \frac{1}{4}\right) $. Isso significa que queremos saber a probabilidade de $ X $ estar entre 0 e $ \frac{3}{4} $ dado que já sabemos que $ X $ é maior que $ \frac{1}{4} $.

Passo 7

A fórmula para a probabilidade condicionada é:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
No nosso caso:
  • $ A $ é $ 0 \leq X \leq \frac{3}{4} $
  • $ B $ é $ X > \frac{1}{4} $
Então:
A

Passo 8

Vamos calcular $ P\left(\frac{1}{4} < X \leq \frac{3}{4}\right) $ e $ P\left(X > \frac{1}{4}\right) $ usando a função de densidade $ f(x) $.
Primeiro, lembre-se que $ k = \frac{3}{2} $, então $ f(x) = \frac{3}{2}(2x - x^2) $.

Passo 9

Calculando $ P\left(\frac{1}{4} < X \leq \frac{3}{4}\right) $:
P(14 < X <= 34)
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 10

Integrando $ 2x $:
2x
Integrando $ -x^2 $:
integral 2x , dx = x^2
Então, a integral fica:
-x^2

Passo 11

Calculando para $ x = \frac{3}{4} $:
x = 34
Para $ x = \frac{1}{4} $:
( 34 )^2 - ( 34 )^33 = 916 - 27192 = 916 - 964 = 3664 - 964 = 2764
Subtraindo:
x = 14
Multiplicando por $ \frac{3}{2} $:
( 14 )^2 - ( 14 )^33 = 116 - 1192 = 12192 - 1192 = 11192

Passo 12

Agora, calculamos $ P\left(X > \frac{1}{4}\right) $:
P(X > 14)
Usando o mesmo cálculo anterior, já sabemos que $ \int_{\frac{1}{4}}^{1} f(x) , dx = 1 - P\left(0 \leq X \leq \frac{1}{4}\right) $. Mas para simplificar, podemos calcular diretamente:
Integrando de $ \frac{1}{4} $ a 1:
integral14^1 32(2x - x^2) , dx

Passo 13

Agora, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(0 <= X <= 34 mid X > 14) = 3564125128 = 3564 cdot 128125 = 35 cdot 2125 = 70125 = 1425

Resposta

b) A probabilidade $ P\left(0 \leq X \leq \frac{3}{4} \mid X > \frac{1}{4}\right) $ é $ \frac{14}{25} $.

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