Suponha que a duração da vida (em horas) de uma certa válvula seja uma variável aleatória contínua X com função densidade f(x)=100 / x^2, para x>100, e zero para quaisquer outros valores de x.
a) Qual será a probabilidade de que uma válvula dure menos de 200 horas, se soubermos que ela ainda está funcionando após 180 horas de serviço?
b) Se 3 dessas válvulas forem instaladas em conjunto, qual será a probabilidade de que exatamente uma delas tenha de ser substituída após 180 horas de serviço?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua $ X $ que representa a duração da vida de uma válvula em horas, com a função densidade de probabilidade $ f(x) = \frac{100}{x^{2}} $ para $ x > 100 $ e zero caso contrário. O conteúdo envolvido aqui é Probabilidade Condicional e Distribuições de Probabilidade Contínuas. Para resolver as questões, vamos precisar entender como calcular probabilidades usando integrais e aplicar conceitos de probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): Qual a probabilidade de uma válvula durar menos de 200 horas, sabendo que ela já está funcionando após 180 horas?
Aqui, estamos lidando com probabilidade condicional, que é a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro já ocorreu. Matemáticamente, isso é representado por:
P(A | B) = P(A cap B)P(B)
No nosso caso:
  • Evento A: A válvula dura menos de 200 horas ($ X < 200 $)
  • Evento B: A válvula já durou mais de 180 horas ($ X > 180 $)
Então, queremos calcular $ P(X < 200 | X > 180) $.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular $ P(X < 200 \cap X > 180) $, que é a probabilidade de a válvula durar entre 180 e 200 horas:
P(X < 200 cap X > 180)
Integrando:
P(180 < X < 200) = integral180^200 100x^2 , dx
Então:
integral 100x^2 , dx = -100x + C
Calculando os valores:
P(180 < X < 200) = [-100x]180^200 = (-100200) - (-100180) = 100180 - 100200
Portanto:
100180 = 59, 100200 = 12

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(X > 180) $:
P(X > 180)

Passo 5

Com esses valores, podemos calcular a probabilidade condicional:
P(X < 200 | X > 180) = P(180 < X < 200)P(X > 180) = 11859 = 118 times 95 = 110 = 0,1

Passo 6

Agora, vamos para a parte b): Se 3 dessas válvulas forem instaladas juntas, qual a probabilidade de exatamente uma delas precisar ser substituída após 180 horas de serviço?
Aqui, estamos lidando com eventos independentes e distribuição binomial. Cada válvula tem uma probabilidade de $ p = 0,1 $ (como calculamos na parte a) de precisar ser substituída após 180 horas. Queremos que exatamente uma das três válvulas precise ser substituída.
A fórmula da distribuição binomial é:
p = 0,1
Onde:
  • $ n = 3 $ (número de válvulas)
  • $ k = 1 $ (exatamente uma substituição)
  • $ p = 0,1 $

Passo 7

Calculando:
P(1; 3, 0,1) = binom31 (0,1)^1 (1 - 0,1)^2 = 3 times 0,1 times (0,9)^2 = 3 times 0,1 times 0,81 = 3 times 0,081 = 0,243

Resposta

a) A probabilidade é de 10%.
b) A probabilidade é de 24,3%.

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