Suponha que a duração da vida (em horas) de uma certa válvula seja uma variável aleatória contínua
com função densidade
, para
, e zero para quaisquer outros valores de x.
a) Qual será a probabilidade de que uma válvula dure menos de 200 horas, se soubermos que ela ainda está funcionando após 180 horas de serviço?
b) Se 3 dessas válvulas forem instaladas em conjunto, qual será a probabilidade de que exatamente uma delas tenha de ser substituída após 180 horas de serviço?
a) Qual será a probabilidade de que uma válvula dure menos de 200 horas, se soubermos que ela ainda está funcionando após 180 horas de serviço?
b) Se 3 dessas válvulas forem instaladas em conjunto, qual será a probabilidade de que exatamente uma delas tenha de ser substituída após 180 horas de serviço?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua $ X $ que representa a duração da vida de uma válvula em horas, com a função densidade de probabilidade $ f(x) = \frac{100}{x^{2}} $ para $ x > 100 $ e zero caso contrário. O conteúdo envolvido aqui é Probabilidade Condicional e Distribuições de Probabilidade Contínuas. Para resolver as questões, vamos precisar entender como calcular probabilidades usando integrais e aplicar conceitos de probabilidade condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): Qual a probabilidade de uma válvula durar menos de 200 horas, sabendo que ela já está funcionando após 180 horas?
Aqui, estamos lidando com probabilidade condicional, que é a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro já ocorreu. Matemáticamente, isso é representado por:
No nosso caso:
- Evento A: A válvula dura menos de 200 horas ($ X < 200 $)
- Evento B: A válvula já durou mais de 180 horas ($ X > 180 $)
Então, queremos calcular $ P(X < 200 | X > 180) $.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular $ P(X < 200 \cap X > 180) $, que é a probabilidade de a válvula durar entre 180 e 200 horas:
Integrando:
Então:
Calculando os valores:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ P(X > 180) $:
Passo 5
Com esses valores, podemos calcular a probabilidade condicional:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b): Se 3 dessas válvulas forem instaladas juntas, qual a probabilidade de exatamente uma delas precisar ser substituída após 180 horas de serviço?
Aqui, estamos lidando com eventos independentes e distribuição binomial. Cada válvula tem uma probabilidade de $ p = 0,1 $ (como calculamos na parte a) de precisar ser substituída após 180 horas. Queremos que exatamente uma das três válvulas precise ser substituída.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
- $ n = 3 $ (número de válvulas)
- $ k = 1 $ (exatamente uma substituição)
- $ p = 0,1 $
Passo 7
Calculando:
Resposta
a) A probabilidade é de 10%.
b) A probabilidade é de 24,3%.