Considere a seguinte função de distribuição acumulada:
F(x)=lc 0, & se x <= 1 k(x-1)^2, & se 13
obtenha a função densidade f(x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício traz uma função de distribuição acumulada (CDF) chamada $ F(x) $ que é definida em três partes diferentes dependendo do valor de $ x $. Nosso objetivo é encontrar a função densidade $ f(x) $, que basicamente nos mostra como a probabilidade está distribuída em relação a $ x $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre CDFs e como derivar funções para encontrar a densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ F(x) $. Ela é definida assim:
F(x)
Aqui, $ k $ é uma constante que precisamos encontrar para que $ F(x) $ seja uma função de distribuição válida. Uma coisa importante sobre CDFs é que elas devem ser contínuas e que $ F(x) $ tende a 1 quando $ x $ vai ao infinito. Então, para $ F(x) $ ser contínua em $ x = 3 $, precisamos que os valores das duas partes de $ F(x) $ se igualem em $ x = 3 $.

Passo 3

Vamos encontrar o valor de $ k $. Sabemos que quando $ x = 3 $, $ F(x) $ deve ser igual a 1. Então, substituindo $ x = 3 $ na segunda parte da função:
k
Pronto, agora sabemos que $ k = \frac{1}{4} $.

Passo 4

Agora que temos $ k $, vamos derivar $ F(x) $ para encontrar a função densidade $ f(x) $. A função densidade é a derivada da função de distribuição acumulada. Então, derivando cada parte de $ F(x) $:
  1. Para $ x \leq 1 $:
k
  1. Para $ 1 < x \leq 3 $:
F(x)
  1. Para $ x > 3 $:
f(x)

Resposta

A função densidade $ f(x) $ é dada por:
f(x)

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