Suponha que X seja uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade:
f(x)=1 , se 0 <= x <= 1
Ache a função densidade da variável aleatória Y=X^2+1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com função densidade $ f(x) = 1 $ para $ 0 \leq x \leq 1 $. O objetivo é encontrar a função densidade da nova variável aleatória $ Y = X^2 + 1 $. Vamos usar conceitos de transformação de variáveis aleatórias contínuas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ Y = X^2 + 1 $. Isso quer dizer que a gente está transformando $ X $ elevando ao quadrado e somando 1. Para achar a função densidade de $ Y $, precisamos encontrar a relação entre $ X $ e $ Y $ e usar a fórmula de mudança de variável.

Passo 3

A gente sabe que a função densidade de $ X $ é $ f_X(x) = 1 $ para $ 0 \leq x \leq 1 $. Vamos encontrar a inversa dessa transformação. Se $ Y = X^2 + 1 $, então $ X = \sqrt{Y - 1} $.

Passo 4

Agora, precisamos achar a derivada da inversa para usar na fórmula de transformação. A derivada de $ X $ em relação a $ Y $ é:
X

Passo 5

A fórmula para a função densidade de $ Y $ é:
Y
Substituindo $ f_X(x) = 1 $ e $ \frac{dX}{dY} = \frac{1}{2\sqrt{Y - 1}} $, temos:
fY(y) = fX(x) | dXdY |

Passo 6

Precisamos determinar o intervalo de $ y $. Como $ X $ varia de 0 a 1, $ Y = X^2 + 1 $ varia de $ 0^2 +1 =1 $ até $ 1^2 +1 =2 $. Então, a função densidade de $ Y $ vale somente entre 1 e 2.

Resposta

fY(y) = 12raizy - 1, & se 1 <= y <= 2 0, & caso contrário á

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