Considere a seguinte função de distribuição acumulada:
F(x)=lc 0, & se x <= 1 k(x-1)^2, & se 13
obtenha a P(2 <= X <= 2,75 mid X >= 1);

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma função de distribuição acumulada (CDF) definida por partes e queremos encontrar a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ esteja entre 2 e 2,75, dado que $ X $ é pelo menos 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções de distribuição acumulada e probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de distribuição acumulada $ F(x) $ que foi dada:
F(x)
Sabemos que, para uma função de distribuição acumulada válida, $ F(x) $ deve ser igual a 1 no infinito. Observando a parte da função para $ x > 3 $, vemos que $ F(3) = 1 $. Vamos usar isso para encontrar o valor de $ k $.

Passo 3

Vamos substituir $ x = 3 $ na parte intermediária da função para encontrar $ k $:
x = 3
Então, a função de distribuição acumulada fica:
k

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade condicional $ \mathrm{P}(2 \leq X \leq 2,75 \mid X \geq 1) $. A probabilidade condicional é dada por:
P(2 <= X <= 2,75 mid X >= 1)
No nosso caso, $ A $ é $ 2 \leq X \leq 2,75 $ e $ B $ é $ X \geq 1 $. Como $ A $ já está contido em $ B $, temos:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)

Passo 5

Vamos calcular $ \mathrm{P}(2 \leq X \leq 2,75) $ usando a função de distribuição acumulada:
P(2 <= X <= 2,75)
Substituindo na função $ F(x) $:
P(2 <= X <= 2,75) = F(2,75) - F(2)
F(x)
Então:
F(2,75) = 14(2,75 - 1)^2 = 14(1,75)^2 = 14 times 3,0625 = 0,765625

Passo 6

Agora, vamos calcular $ \mathrm{P}(X \geq 1) $. Sabemos que $ F(x) $ para $ x \leq 1 $ é 0, então:
P(X >= 1)

Passo 7

Finalmente, substituímos os valores encontrados na fórmula da probabilidade condicional:
P(2 <= X <= 2,75 mid X >= 1) = 0,5156251 = 0,515625

Resposta

A probabilidade $ \mathrm{P}(2 \leq X \leq 2,75 \mid X \geq 1) $ é aproximadamente 0,5156.

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