Suponha que X seja uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade:
f(x)=1 , se 0 <= x <= 1
Ache a função densidade das seguintes variáveis aleatórias:
a) Y=X^2+1
b) Z=1 /(X+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as funções densidade de duas novas variáveis aleatórias, Y e Z, que são transformações da variável original X. A matéria envolvida aqui é Transformação de Variáveis Aleatórias Contínuas. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar uma função densidade quando mudamos a variável através de uma função matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a) onde Y = X² + 1.
  1. Entender a Transformação: Y é definida como X² + 1. Isso significa que para cada valor de X entre 0 e 1, Y vai variar entre 1 (quando X=0) e 2 (quando X=1).
  2. Encontrar a Função Inversa: Para achar a função densidade de Y, precisamos da função inversa de Y em relação a X. Se Y = X² + 1, então X = √(Y - 1).
  3. Calcular a Derivada da Função Inversa: A derivada de X em relação a Y é dX/dY = 1 / (2√(Y - 1)).
  4. Aplicar a Fórmula da Transformação: A função densidade de Y, f_Y(y), é dada por f_X(x) multiplicada pelo valor absoluto da derivada da função inversa:
    fY(y) = fX(raizy - 1) cdot | dXdY | = 1 cdot 12raizy - 1 = 12raizy - 1
    Isso é válido para y entre 1 e 2.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b) onde Z = 1 / (X + 1).
  1. Entender a Transformação: Z é definida como 1 dividido por (X + 1). Como X varia entre 0 e 1, Z vai variar entre 1/(0+1) = 1 e 1/(1+1) = 0.5. Então, Z está no intervalo [0.5, 1].
  2. Encontrar a Função Inversa: Se Z = 1 / (X + 1), então X = (1/Z) - 1.
  3. Calcular a Derivada da Função Inversa: A derivada de X em relação a Z é dX/dZ = -1 / Z².
  4. Aplicar a Fórmula da Transformação: A função densidade de Z, f_Z(z), é dada por f_X(x) multiplicada pelo valor absoluto da derivada da função inversa:
    fZ(z) = fX(1z - 1) cdot | dXdZ | = 1 cdot 1z² = 1z² ²²
    Isso é válido para z entre 0.5 e 1.

Resposta

a) A função densidade de Y é $ f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y - 1}} $ para $ 1 \leq y \leq 2 $.
b) A função densidade de Z é $ f_Z(z) = \frac{1}{z^2} $ para $ 0.5 \leq z \leq 1 $.

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