Considere a seguinte função de distribuição acumulada:
F(x)=lc 0, & se x <= 1 k(x-1)^2, & se 13
a) obtenha a função densidade f(x);
b) obtenha a P(0 <= X <= 1,5);
c) obtenha a P(2 <= X <= 2,75 mid X >= 1);

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de distribuição acumulada $ F(x) $ definida por partes e queremos resolver três partes:
a) Encontrar a função densidade $ f(x) $;
b) Calcular a probabilidade $ P(0 \leq X \leq 1,5) $;
c) Calcular a probabilidade condicional $ P(2 \leq X \leq 2,75 \mid X \geq 1) $.
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de distribuição, derivadas para encontrar a densidade e aplicar regras de probabilidade básica.

Passo 2

Parte a: Encontrar a função densidade $ f(x) $
A função densidade $ f(x) $ é basicamente a derivada da função de distribuição acumulada $ F(x) $. Vamos derivar cada parte de $ F(x) $:
  1. Para $ x \leq 1 $:
    $ F(x) = 0 $
    A derivada de uma constante é zero, então:
    f(x)
  2. Para $ 1 < x \leq 3 $:
    $ F(x) = k(x - 1)^2 $
    Derivando em relação a $ x $:
    f(x)
    Agora, precisamos encontrar o valor de $ k $. Sabemos que quando $ x = 3 $, $ F(x) = 1 $:
    F(x)
    Substituindo $ k $:
    F(x)
  3. Para $ x > 3 $:
    $ F(x) = 1 $
    Novamente, a derivada de uma constante é zero:
    x <= 1
Então, juntando tudo, a função densidade é:
F(x) = 0

Passo 3

Parte b: Calcular a probabilidade $ P(0 \leq X \leq 1,5) $
Para encontrar essa probabilidade, usamos a função de distribuição $ F(x) $:
P(0 <= X <= 1,5)
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 1,5 $:
F(x)
Sabemos que $ F(0) = 0 $ (pois $ x \leq 1 $), então precisamos calcular $ F(1,5) $:
P(a <= X <= b) = F(b) - F(a)
Portanto:
a = 0

Passo 4

Parte c: Calcular a probabilidade condicional $ P(2 \leq X \leq 2,75 \mid X \geq 1) $
A probabilidade condicional é dada por:
P(2 <= X <= 2,75 mid X >= 1)
Onde:
  • $ A $ é o evento $ 2 \leq X \leq 2,75 $
  • $ B $ é o evento $ X \geq 1 $
Primeiro, calculamos $ P(B) $:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
Como $ F(1) = 0 $:
A
Agora, $ P(A \cap B) = P(2 \leq X \leq 2,75) $:
2 <= X <= 2,75
Calculando $ F(2,75) $:
B
Calculando $ F(2) $:
X >= 1
Então:
P(B)
Finalmente, a probabilidade condicional é:
P(X >= 1) = 1 - F(1)

Resposta

a) A função densidade $ f(x) $ é:
f(x)
b) A probabilidade $ P(0 \leq X \leq 1,5) $ é aproximadamente $ 0,0625 $.
c) A probabilidade condicional $ P(2 \leq X \leq 2,75 \mid X \geq 1) $ é aproximadamente $ 0,515625 $.

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