Suponha que
seja uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade:
Ache a função densidade da variável aleatória
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Probabilidade, mais especificamente sobre funções de densidade de variáveis aleatórias contínuas. O que precisamos fazer é encontrar a função densidade da nova variável aleatória $ Z = \frac{1}{X + 1} $, sabendo que a variável $ X $ tem uma função densidade igual a 1 no intervalo de 0 a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função densidade. A função densidade $ f_X(x) $ descreve a probabilidade de $ X $ assumir valores em um determinado intervalo. No nosso caso, $ f_X(x) = 1 $ para $ 0 \leq x \leq 1 $, o que significa que $ X $ é uniformemente distribuída nesse intervalo.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a função densidade de $ Z = \frac{1}{X + 1} $. Para isso, vamos usar a técnica de transformação de variáveis. A fórmula geral para a função densidade de $ Z $ quando $ Z = g(X) $ é:
onde $ x = g^{-1}(z) $ é a função inversa de $ g $.
Passo 4
Vamos encontrar a função inversa de $ Z = \frac{1}{X + 1} $. Resolvendo para $ X $:
Então, a função inversa é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de $ x $ em relação a $ z $:
Como estamos interessados no valor absoluto dessa derivada, temos:
Passo 6
Substituindo $ f_X(x) = 1 $ e $ \left| \frac{dx}{dz} \right| = \frac{1}{z^2} $ na fórmula da função densidade de $ Z $:
Passo 7
Por fim, precisamos determinar o intervalo de $ z $. Como $ X $ varia de 0 a 1:
- Quando $ X = 0 $, $ Z = \frac{1}{0 + 1} = 1 $
- Quando $ X = 1 $, $ Z = \frac{1}{1 + 1} = 0.5 $
Então, $ Z $ varia de 0.5 a 1. Fora desse intervalo, a função densidade é zero.
Resposta
A função densidade de $ Z = \frac{1}{X + 1} $ é dada por: