Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:
X | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|---|
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Seja
. Determine a distribuição de probabilidade de
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma variável aleatória discreta $ X $ com certos valores e suas probabilidades. A gente precisa descobrir a distribuição de probabilidade de uma nova variável $ Y $, que é definida como $ Y = 2X^2 $. Para isso, vamos usar o conceito de transformação de variáveis, que basicamente nos ajuda a encontrar como as probabilidades mudam quando a gente aplica uma função na variável original.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais são os possíveis valores que $ Y $ pode assumir com base nos valores de $ X $. Como $ Y = 2X^2 $, vamos calcular $ Y $ para cada valor de $ X $:
- Se $ X = -2 $: $ Y = 2 \times (-2)^2 = 2 \times 4 = 8 $
- Se $ X = -1 $: $ Y = 2 \times (-1)^2 = 2 \times 1 = 2 $
- Se $ X = 0 $: $ Y = 2 \times 0^2 = 2 \times 0 = 0 $
- Se $ X = 1 $: $ Y = 2 \times 1^2 = 2 \times 1 = 2 $
- Se $ X = 2 $: $ Y = 2 \times 2^2 = 2 \times 4 = 8 $
Então, os possíveis valores de $ Y $ são: 0, 2 e 8.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de $ Y $. Para isso, precisamos ver quais valores de $ X $ resultam no mesmo valor de $ Y $ e somar as probabilidades correspondentes.
-
Para $ Y = 0 $:
- Isso acontece somente quando $ X = 0 $.
- A probabilidade de $ X = 0 $ é $ \frac{2}{8} $.
- Então, $ P(Y = 0) = \frac{2}{8} $.
-
Para $ Y = 2 $:
- Isso acontece quando $ X = -1 $ ou $ X = 1 $.
- A probabilidade de $ X = -1 $ é $ \frac{2}{8} $ e a de $ X = 1 $ também é $ \frac{2}{8} $.
- Então, $ P(Y = 2) = \frac{2}{8} + \frac{2}{8} = \frac{4}{8} $.
-
Para $ Y = 8 $:
- Isso acontece quando $ X = -2 $ ou $ X = 2 $.
- A probabilidade de $ X = -2 $ é $ \frac{1}{8} $ e a de $ X = 2 $ também é $ \frac{1}{8} $.
- Então, $ P(Y = 8) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} $.
Passo 4
Por fim, vamos organizar tudo isso em uma tabela para visualizar melhor a distribuição de probabilidade de $ Y $:
$ Y $ | $ P(Y = y) $ |
---|---|
0 | $ \frac{2}{8} $ |
2 | $ \frac{4}{8} $ |
8 | $ \frac{2}{8} $ |
Resposta
A distribuição de probabilidade de $ Y = 2X^2 $ é:
$ Y $ | $ P(Y = y) $ |
---|---|
0 | $ \frac{2}{8} $ |
2 | $ \frac{4}{8} $ |
8 | $ \frac{2}{8} $ |