Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:
X -2 -1 0 1 2
P(X=xi) 1 / 8 2 / 8 2 / 8 2 / 8 1 / 8
Seja Y=2 X^2. Determine a distribuição de probabilidade de Y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma variável aleatória discreta $ X $ com certos valores e suas probabilidades. A gente precisa descobrir a distribuição de probabilidade de uma nova variável $ Y $, que é definida como $ Y = 2X^2 $. Para isso, vamos usar o conceito de transformação de variáveis, que basicamente nos ajuda a encontrar como as probabilidades mudam quando a gente aplica uma função na variável original.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são os possíveis valores que $ Y $ pode assumir com base nos valores de $ X $. Como $ Y = 2X^2 $, vamos calcular $ Y $ para cada valor de $ X $:
  • Se $ X = -2 $: $ Y = 2 \times (-2)^2 = 2 \times 4 = 8 $
  • Se $ X = -1 $: $ Y = 2 \times (-1)^2 = 2 \times 1 = 2 $
  • Se $ X = 0 $: $ Y = 2 \times 0^2 = 2 \times 0 = 0 $
  • Se $ X = 1 $: $ Y = 2 \times 1^2 = 2 \times 1 = 2 $
  • Se $ X = 2 $: $ Y = 2 \times 2^2 = 2 \times 4 = 8 $
Então, os possíveis valores de $ Y $ são: 0, 2 e 8.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de $ Y $. Para isso, precisamos ver quais valores de $ X $ resultam no mesmo valor de $ Y $ e somar as probabilidades correspondentes.
  • Para $ Y = 0 $:
    • Isso acontece somente quando $ X = 0 $.
    • A probabilidade de $ X = 0 $ é $ \frac{2}{8} $.
    • Então, $ P(Y = 0) = \frac{2}{8} $.
  • Para $ Y = 2 $:
    • Isso acontece quando $ X = -1 $ ou $ X = 1 $.
    • A probabilidade de $ X = -1 $ é $ \frac{2}{8} $ e a de $ X = 1 $ também é $ \frac{2}{8} $.
    • Então, $ P(Y = 2) = \frac{2}{8} + \frac{2}{8} = \frac{4}{8} $.
  • Para $ Y = 8 $:
    • Isso acontece quando $ X = -2 $ ou $ X = 2 $.
    • A probabilidade de $ X = -2 $ é $ \frac{1}{8} $ e a de $ X = 2 $ também é $ \frac{1}{8} $.
    • Então, $ P(Y = 8) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} $.

Passo 4

Por fim, vamos organizar tudo isso em uma tabela para visualizar melhor a distribuição de probabilidade de $ Y $:
$ Y $ $ P(Y = y) $
0 $ \frac{2}{8} $
2 $ \frac{4}{8} $
8 $ \frac{2}{8} $

Resposta

A distribuição de probabilidade de $ Y = 2X^2 $ é:
$ Y $ $ P(Y = y) $
0 $ \frac{2}{8} $
2 $ \frac{4}{8} $
8 $ \frac{2}{8} $

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