Considere a seguinte função de duas variáveis,
Calcule as seguintes derivadas:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis:
O que a gente precisa calcular são as derivadas parciais de segunda ordem:
,
,
e
. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais, que é uma ferramenta importante para analisar como a função muda em relação a cada uma das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Isso significa que vamos derivar
considerando
como uma constante. A regra básica aqui é tratar
como um número fixo.
Derivando cada termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (já que é constante). - A derivada de
em relação a é , pois não há nesse termo.
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, que é
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
novamente.
Derivando
em relação a
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então,
Passo 4
Vamos agora encontrar a derivada parcial mista
. Isso significa que primeiro derivamos
em relação a
(que já fizemos, chegando em
) e depois derivamos esse resultado em relação a
.
Temos
.
Derivando
em relação a
:
- A derivada de
em relação a é , pois não há nesse termo. - A derivada de
em relação a é .
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Isso significa que vamos derivar
tratando
como constante.
Derivando cada termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é , pois não há nesse termo. - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então,
Passo 6
Vamos agora encontrar a derivada parcial mista
. Isso significa que primeiro derivamos
em relação a
(que encontramos em
) e depois derivamos esse resultado em relação a
.
Temos
.
Derivando
em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é , pois não há nesse termo.
Então,
Passo 7
Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, que é
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
novamente.
Temos
.
Derivando
em relação a
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então,
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função são: