Considere a seguinte função de duas variáveis,
f(x, y)=2 x^3+2 x^2 y^3-3 y^4
Calcule as seguintes derivadas: fx x, fx y, fy x e fy y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis:
f(x, y) = 2x^3 + 2x^2 y^3 - 3y^4
O que a gente precisa calcular são as derivadas parciais de segunda ordem: fxx, fxy, fyx e fyy. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais, que é uma ferramenta importante para analisar como a função muda em relação a cada uma das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x, que é fx. Isso significa que vamos derivar f considerando y como uma constante. A regra básica aqui é tratar y como um número fixo.
Derivando cada termo em relação a x:
  • A derivada de 2x^3 em relação a x é 6x^2.
  • A derivada de 2x^2 y^3 em relação a x é 4x y^3 (já que y^3 é constante).
  • A derivada de -3y^4 em relação a x é 0, pois não há x nesse termo.
Então,
fx = 6x^2 + 4x y^3

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de f em relação a x, que é fxx. Isso significa que vamos derivar fx em relação a x novamente.
Derivando fx = 6x^2 + 4x y^3 em relação a x:
  • A derivada de 6x^2 é 12x.
  • A derivada de 4x y^3 é 4 y^3.
Então,
fxx = 12x + 4 y^3

Passo 4

Vamos agora encontrar a derivada parcial mista fxy. Isso significa que primeiro derivamos f em relação a x (que já fizemos, chegando em fx) e depois derivamos esse resultado em relação a y.
Temos fx = 6x^2 + 4x y^3.
Derivando fx em relação a y:
  • A derivada de 6x^2 em relação a y é 0, pois não há y nesse termo.
  • A derivada de 4x y^3 em relação a y é 12x y^2.
Então,
fxy = 12x y^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y, que é fy. Isso significa que vamos derivar f tratando x como constante.
Derivando cada termo em relação a y:
  • A derivada de 2x^3 em relação a y é 0, pois não há y nesse termo.
  • A derivada de 2x^2 y^3 em relação a y é 6x^2 y^2.
  • A derivada de -3y^4 em relação a y é -12y^3.
Então,
fy = 6x^2 y^2 - 12y^3

Passo 6

Vamos agora encontrar a derivada parcial mista fyx. Isso significa que primeiro derivamos f em relação a y (que encontramos em fy) e depois derivamos esse resultado em relação a x.
Temos fy = 6x^2 y^2 - 12y^3.
Derivando fy em relação a x:
  • A derivada de 6x^2 y^2 em relação a x é 12x y^2.
  • A derivada de -12y^3 em relação a x é 0, pois não há x nesse termo.
Então,
fyx = 12x y^2

Passo 7

Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial de f em relação a y, que é fyy. Isso significa que vamos derivar fy em relação a y novamente.
Temos fy = 6x^2 y^2 - 12y^3.
Derivando fy em relação a y:
  • A derivada de 6x^2 y^2 é 12x^2 y.
  • A derivada de -12y^3 é -36y^2.
Então,
fyy = 12x^2 y - 36y^2

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:
fxx = 12x + 4y^3
fxy = fyx = 12x y^2
fyy = 12x^2 y - 36y^2

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