Considere a seguinte função de duas variáveis,
f(x, y)=2 x^3+2 x^2 y^3-3 y^4
Encontre o plano tangente ao ponto (1, 2, z0 );

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, que é:
f(x, y) = 2x^3 + 2x^2 y^3 - 3y^4
E queremos encontrar o plano tangente no ponto (1, 2, z0). Para isso, vamos precisar dos derivados parciais da função em relação a x e y, além de saber como montar a equação do plano tangente usando essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de z0. Isso significa substituir x = 1 e y = 2 na função f(x, y):
z0 = f(1, 2) = 2(1)^3 + 2(1)^2(2)^3 - 3(2)^4
Vamos calcular cada termo:
  • 2(1)^3 = 2 times 1 = 2
  • 2(1)^2(2)^3 = 2 times 1 times 8 = 16
  • -3(2)^4 = -3 times 16 = -48
Somando tudo:
z0 = 2 + 16 - 48 = -30
Então, o ponto é (1, 2, -30).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os derivados parciais de f(x, y) em relação a x e y.
Primeiro, a derivada parcial em relação a x ( fx):
fx(x, y) = partialpartial x (2x^3 + 2x^2 y^3 - 3y^4) = 6x^2 + 4x y^3
Em seguida, a derivada parcial em relação a y ( fy):
fy(x, y) = partialpartial y (2x^3 + 2x^2 y^3 - 3y^4) = 6x^2 y^2 - 12y^3

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto (1, 2):
Para fx(1, 2):
fx(1, 2) = 6(1)^2 + 4(1)(2)^3 = 6 + 4 times 8 = 6 + 32 = 38
Para fy(1, 2):
fy(1, 2) = 6(1)^2(2)^2 - 12(2)^3 = 6 times 4 - 12 times 8 = 24 - 96 = -72

Passo 5

Agora que temos z0 = -30, fx(1, 2) = 38 e fy(1, 2) = -72, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
z = z0 + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores:
z = -30 + 38(x - 1) - 72(y - 2)
Vamos simplificar essa expressão:
z = -30 + 38x - 38 - 72y + 144
Somando os termos constantes:
z = 38x - 72y + (-30 - 38 + 144)
z = 38x - 72y + 76

Resposta

O plano tangente no ponto (1, 2, -30) é dado por:
z = 38x - 72y + 76

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