Determine a maior região do plano
na qual a equação diferencial tem uma única solução passando pelo ponto (
) nesta região.
Passo 1
A equação dada é
. O conteúdo da matéria é o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf para equações na forma
. Vamos precisar verificar onde a função
e sua derivada em relação a
são contínuas.
Passo 2
Primeiro, colocamos a equação na forma padrão:
Passo 3
Para aplicar o teorema de existência e unicidade, precisamos que
seja contínua em
e que
também seja contínua na vizinhança do ponto inicial.
Passo 4
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Ambas as funções
e
falham de serem contínuas exatamente quando
, ou seja, nas retas
e
.
Passo 5
Portanto, em qualquer região do plano que não intersecte as linhas
e
, temos garantia de existência e unicidade de solução para o problema de valor inicial.
Passo 6
A maior região conectada que contém
e onde
é simplesmente o componente de
que abriga o ponto inicial. Explicitamente:
- Se
, a região é {$ (x,y): -2<y<2 $}. - Se
, a região é {$ (x,y): y>2 $}. - Se
, a região é {$ (x,y): y< -2 $}.
Resposta
A maior região é o componente conexo de
que contém
. Em termos práticos: se
, então
; se
, então
; e se
, então
.