Determine a maior região do plano x y na qual a equação diferencial tem uma única solução passando pelo ponto ( x0, y0 ) nesta região.
(4-y^2) y^prime=x^2

Passo 1

A equação dada é (4 - y^2)y' = x^2. O conteúdo da matéria é o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf para equações na forma y' = f(x,y). Vamos precisar verificar onde a função f(x,y) e sua derivada em relação a y são contínuas.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão:
y' = x^24 - y^2

Passo 3

Para aplicar o teorema de existência e unicidade, precisamos que f(x,y)=x^24-y^2 seja contínua em (x,y) e que partial f/partial y também seja contínua na vizinhança do ponto inicial.

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
partial fpartial y = x^2 cdot ddyl((4-y^2)^-1r) = x^2 cdot 2y(4-y^2)^2
Ambas as funções f e partial f/partial y falham de serem contínuas exatamente quando 4 - y^2 = 0, ou seja, nas retas y = 2 e y = -2.

Passo 5

Portanto, em qualquer região do plano que não intersecte as linhas y=2 e y=-2, temos garantia de existência e unicidade de solução para o problema de valor inicial.

Passo 6

A maior região conectada que contém (x0,y0) e onde y^2 neq 4 é simplesmente o componente de R^2 setminus y=2,,y=-2 que abriga o ponto inicial. Explicitamente:
  • Se |y0|<2, a região é {$ (x,y): -2<y<2 $}.
  • Se (x,y): -2, a região é {$ (x,y): y>2 $}.
  • Se y0>2, a região é {$ (x,y): y< -2 $}.

Resposta

A maior região é o componente conexo de R^2setminusy=2,,y=-2 que contém (x0,y0). Em termos práticos: se |y0|<2, então -2; se y0>2, então y>2; e se y0<-2, então y<-2.

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