Determine os intervalos nos quais as fun ções abaixo são contınuas.
f(vartheta)=tg (pi vartheta)2

Passo 1

O enunciado pede os intervalos de continuidade da função f(vartheta)=tanl(pivartheta2r). O conteúdo principal é continuidade de funções compostas, sabendo que tan(x) é contínua em todo ponto onde não dá divisão por zero em cos(x).

Passo 2

A função tan(x) só falha em ser contínua quando cos(x)=0, porque tan(x)=sin(x)cos(x). Então precisamos achar vartheta tal que
cosl(pivartheta2r)=0

Passo 3

Resolvendo:
pivartheta2=pi2+kpiRightarrowvartheta=1+2k, kinZ

Passo 4

Esses são exatamente os pontos de descontinuidade (os inteiros ímpares). Entre dois ímpares consecutivos a tangente é contínua.
Portanto, os intervalos de continuidade são todos os intervalos abertos entre inteiros ímpares consecutivos, ou seja:
(2k-1,,2k+1), kinZ

Resposta

A função é contínua em cada intervalo (2k-1, 2k+1) para todo k∈ℤ, isto é, em ℝ sem os inteiros ímpares.

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