Considere a seguinte função f(x), definida como
f(x) = { raiz(1 - x) se x < 1; (1 - x)² se x ≥ 1 }
© Determine se f_'(1) e f+'(1) existem e se f é derivável em 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função que é definida de duas maneiras diferentes dependendo de ser menor que 1 ou maior ou igual a 1. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre derivadas, especificamente derivadas laterais. Precisamos saber como calcular a derivada pela esquerda ( ) e pela direita ( ) no ponto para ver se a função é derivável nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada pela esquerda em ( ). Para isso, usamos a parte da função que vale quando , que é .

Passo 3

A derivada de é encontrada usando a regra da cadeia. Lembra que . Aplicando a derivada:
Agora, avaliamos essa derivada no ponto :
Aqui percebemos que temos uma divisão por zero, o que significa que a derivada pela esquerda não existe.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela direita em ( ). Para isso, usamos a parte da função que vale quando , que é .

Passo 5

A derivada de é:
Agora, avaliamos essa derivada no ponto :
Então, a derivada pela direita existe e é igual a 0.

Passo 6

Para concluir se a função é derivável em , precisamos verificar se as derivadas pela esquerda e pela direita existem e são iguais. Vimos que não existe e .

Resposta

A derivada pela esquerda em 1 ( ) não existe e a derivada pela direita em 1 ( ) é igual a 0. Portanto, a função não é derivável em .

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