Considere a seguinte função
, definida como
© Determine se
e
existem e se
é derivável em 1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função
que é definida de duas maneiras diferentes dependendo de
ser menor que 1 ou maior ou igual a 1. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre derivadas, especificamente derivadas laterais. Precisamos saber como calcular a derivada pela esquerda (
) e pela direita (
) no ponto
para ver se a função é derivável nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada pela esquerda em
(
). Para isso, usamos a parte da função que vale quando
, que é
.
Passo 3
A derivada de
é encontrada usando a regra da cadeia. Lembra que
. Aplicando a derivada:
Agora, avaliamos essa derivada no ponto
:
Aqui percebemos que temos uma divisão por zero, o que significa que a derivada pela esquerda não existe.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada pela direita em
(
). Para isso, usamos a parte da função que vale quando
, que é
.
Passo 5
A derivada de
é:
Agora, avaliamos essa derivada no ponto
:
Então, a derivada pela direita existe e é igual a 0.
Passo 6
Para concluir se a função
é derivável em
, precisamos verificar se as derivadas pela esquerda e pela direita existem e são iguais. Vimos que
não existe e
.
Resposta
A derivada pela esquerda em 1 (
) não existe e a derivada pela direita em 1 (
) é igual a 0. Portanto, a função
não é derivável em
.