Verifique que as equações diferenciais abaixo são homogêneas, em seguida calcule a solução geral das mesmas:
Definição: Uma função
é dita homogênea de grau
se
Definição: Uma equação diferencial da forma
é dita uma equação diferencial homogênea se
e
são funções homogêneas de mesmo grau. Nesse caso, a equação diferencial é resolvida por meio da mudança de coordenadas
a qual transformará a equação diferencial em uma equação de variáveis separáveis (nas variáveis
e
), que pode ser resolvida. A solução geral da equação original é determinada devolvendo
à solução obtida (retirando-se
da resposta).
Definição: Uma função
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
O objetivo é verificar se essa equação é homogênea e, se for, encontrar a solução geral dela. Pra isso, a gente vai usar o conteúdo de equações diferenciais homogêneas. Vamos precisar entender o que são funções homogêneas e como fazer a mudança de variável
para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial da forma
é homogênea se as funções
e
forem homogêneas do mesmo grau. Vamos reescrever a nossa equação nesse formato.
A equação dada é:
Podemos rearranjar para:
O que nos dá:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se
e
são funções homogêneas do mesmo grau.
Uma função
é homogênea de grau
se:
Vamos aplicar isso em
e
:
Para
:
Então,
é homogênea de grau
.
Para
:
Também é homogênea de grau
.
Como
e
são homogêneas do mesmo grau, a equação diferencial é homogênea.
Passo 4
Agora que confirmamos que a equação é homogênea, vamos usar a mudança de variável
, onde
é uma função de
. A derivada de
em relação a
fica:
Substituindo
e
na equação original:
Ficando:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos:
Dividindo todos os termos por
(assumindo
):
Rearranjando para isolar
:
Isso é uma equação de variáveis separáveis, onde podemos integrar ambos os lados separadamente.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados:
Primeiro, simplificamos a fração do lado esquerdo. Para isso, completamos o quadrado no denominador:
Denominador:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Fazendo a fração parcial:
Resolvendo para
e
, encontramos que
e
.
Então, a integral fica:
Integrando:
Simplificando:
Passo 7
Vamos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma constante.
Rearranjando:
Podemos simplificar
para outra constante
, então:
Passo 8
Lembrando que fizemos a substituição
, ou seja,
. Substituindo na equação:
Multiplicando os termos:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:
Podemos reorganizar:
Para simplificar, consideramos
como apenas uma constante
(já que
é qualquer constante arbitrária):
Passo 10
Então, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer. Essa é a solução geral que encontramos para a equação diferencial original.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é uma constante arbitrária.