Verifique que as equações diferenciais abaixo são homogêneas, em seguida calcule a solução geral das mesmas:
Definição: Uma função f(t, y) é dita homogênea de grau n se
f(lambda t, lambda y) = lambda^n f(t, y) , n em R
Definição: Uma equação diferencial da forma
M(t, y) dt + N(t, y) dy = 0
é dita uma equação diferencial homogênea se M e N são funções homogêneas de mesmo grau. Nesse caso, a equação diferencial é resolvida por meio da mudança de coordenadas
y = t x dy = t dx + x dt
a qual transformará a equação diferencial em uma equação de variáveis separáveis (nas variáveis t e x ), que pode ser resolvida. A solução geral da equação original é determinada devolvendo y à solução obtida (retirando-se x da resposta).
y' y - 2 t - y = 0

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
O objetivo é verificar se essa equação é homogênea e, se for, encontrar a solução geral dela. Pra isso, a gente vai usar o conteúdo de equações diferenciais homogêneas. Vamos precisar entender o que são funções homogêneas e como fazer a mudança de variável para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial da forma
é homogênea se as funções e forem homogêneas do mesmo grau. Vamos reescrever a nossa equação nesse formato.
A equação dada é:
Podemos rearranjar para:
O que nos dá:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se e são funções homogêneas do mesmo grau.
Uma função é homogênea de grau se:
Vamos aplicar isso em e :
Para :
Então, é homogênea de grau .
Para :
Também é homogênea de grau .
Como e são homogêneas do mesmo grau, a equação diferencial é homogênea.

Passo 4

Agora que confirmamos que a equação é homogênea, vamos usar a mudança de variável , onde é uma função de . A derivada de em relação a fica:
Substituindo e na equação original:
Ficando:
Substituindo :

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos:
Dividindo todos os termos por (assumindo ):
Rearranjando para isolar :
Isso é uma equação de variáveis separáveis, onde podemos integrar ambos os lados separadamente.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
Primeiro, simplificamos a fração do lado esquerdo. Para isso, completamos o quadrado no denominador:
Denominador:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Fazendo a fração parcial:
Resolvendo para e , encontramos que e .
Então, a integral fica:
Integrando:
Simplificando:

Passo 7

Vamos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Onde é uma constante.
Rearranjando:
Podemos simplificar para outra constante , então:

Passo 8

Lembrando que fizemos a substituição , ou seja, . Substituindo na equação:
Multiplicando os termos:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:
Podemos reorganizar:
Para simplificar, consideramos como apenas uma constante (já que é qualquer constante arbitrária):

Passo 10

Então, a solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer. Essa é a solução geral que encontramos para a equação diferencial original.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde é uma constante arbitrária.

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