Resolva os problemas de valor inicial (PVI).
t * y' - (2 * t * e^(-y/t) + y) = 0, y(1) = 0 Res.: e^(y/t) = 1 + ln(t^2)

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial com uma condição inicial:
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais ordinárias (EDOs) e, mais especificamente, problemas de valor inicial (PVI). Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs que envolvem a separação de variáveis e a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Isso simplifica a equação para uma forma mais manejável.

Passo 3

Vamos tentar separar as variáveis para facilitar a integração. Observamos que a equação pode ser rearranjada da seguinte forma:
Aqui, temos uma equação linear na forma , onde:

Passo 4

Para resolver uma equação linear, precisamos encontrar um fator integrante , dado por:
Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante:

Passo 5

Agora, a equação pode ser escrita como a derivada de :
Integrando ambos os lados em relação a :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 6

Para simplificar a integração, fazemos uma substituição. Seja , então:
A equação se torna:
Isso resulta na solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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