Considere a seguinte função f(x, y)=\frac{2 x^{2}+2 y^{2}-18}{x^{2}+y^{2}-4}.
a) Achar o domínio (esbocar o lugar geométrico).
b) Determinar as curvas de nivel Para C=0 ; 1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{2x^{2}+2y^{2}-18}{x^{2}+y^{2}-4}
e pede duas coisas:
– (a) o domínio de f, ou seja, onde o denominador não se anula;
– (b) as curvas de nível de ordem C=0 e C=1.
Para isso, vamos usar a condição de existência do quociente e depois resolver f(x,y)=C em função de r^{2}=x^{2}+y^{2}.

Passo 2

O denominador é x^{2}+y^{2}-4. A condição de existência é
x^{2}+y^{2}-4 \neq 0
ou seja
x^{2}+y^{2} \neq 4.
Geometricamente, esse é o círculo de raio 2 centrado na origem, que deve ser excluído. Logo, o domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq 4\}.

Passo 3

Para achar a curva de nível de valor genérico C, impomos
\frac{2(x^{2}+y^{2})-18}{(x^{2}+y^{2})-4}=C.
Multiplicando ambos os lados por \bigl(x^{2}+y^{2}-4\bigr), fica
2(x^{2}+y^{2})-18 = C\bigl(x^{2}+y^{2}-4\bigr).
Seja r^{2}=x^{2}+y^{2}. Então
2r^{2}-18 = C\,(r^{2}-4) \quad\Longrightarrow\quad 2r^{2}-18 = C\,r^{2}-4C \quad\Longrightarrow\quad (2 - C)\,r^{2} = 18 - 4C.
Desde que C\neq 2, obtemos
r^{2} = \frac{18-4C}{2-C}.

Passo 4

Agora especializamos em C=0 e C=1:
Para C=0:
r^{2} = \frac{18-4\cdot 0}{2-0} = \frac{18}{2} = 9 \quad\Longrightarrow\quad r = 3.
A curva de nível f(x,y)=0 é o círculo
x^{2}+y^{2}=9.
Para C=1:
r^{2} = \frac{18-4\cdot 1}{2-1} = \frac{14}{1} = 14 \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{14}.
A curva de nível f(x,y)=1 é o círculo
x^{2}+y^{2}=14.

Resposta

(a) Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq 4\}, ou seja, todo o plano exceto o círculo de raio 2.
(b) Curvas de nível: C=0\colon x^{2}+y^{2}=9 (círculo de raio 3); C=1\colon x^{2}+y^{2}=14 (círculo de raio \sqrt{14}).

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