Desenvolva em série de potência a seguinte função e achar o seu campo de convergência. f(x)=\frac{4 x+2}{x^{2}+3 x+2}

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potência (em torno de x=0) da função
f(x)=\frac{4x+2}{x^2+3x+2}
e o seu campo (intervalo) de convergência. Vamos usar fatoração do denominador, frações parciais e séries geométricas.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2+3x+2=(x+1)(x+2).
Logo procuramos A\) e \(B\) tais que \[\frac{4x+2}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}.
Temos
4x+2 = A(x+2)+B(x+1) = (A+B)x + (2A+B).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+B=4,\\\\ 2A+B=2, \end{cases}
obtém-se A=-2\] e \(B=6. Assim
f(x)=-\frac{2}{x+1}+\frac{6}{x+2}.

Passo 3

Expandimos o primeiro termo como série geométrica em torno de 0:
-\frac{2}{x+1} = -2\cdot\frac{1}{1+x} =-2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n,
válido para \lvert x\rvert<1.

Passo 4

Expandimos o segundo termo:
\frac{6}{x+2} =6\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\tfrac{x}{2}} =3\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^n =3\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{2^n},
válido para \bigl|\tfrac{x}{2}\bigr|<1, ou seja \lvert x\rvert<2.

Passo 5

Somando as duas séries:
f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\bigl[-2(-1)^n\bigr]x^n +\sum_{n=0}^{\infty}3(-1)^n\frac{x^n}{2^n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\Bigl(-2+\frac{3}{2^n}\Bigr)x^n.
O campo de convergência é a interseção \lvert x\rvert<1 e \lvert x\rvert<2, isto é \lvert x\rvert<1.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\Bigl(-2+\frac{3}{2^n}\Bigr)x^n, \quad\text{para }\lvert x\rvert<1.

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