Estudar a natureza das séries seguinte e determine a soma, caso seja possivel:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{5^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{5^{n-1}}
e, se convergir, determinar sua soma. O conteúdo envolve séries geométricas e a fórmula de soma.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral para identificar a forma geométrica. Observando que
\frac{2^{n}}{5^{n-1}} = \frac{2^{n}}{5^{n}}\cdot5 = 5\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{n},
o que mostra que temos uma série geométrica de razão \tfrac{2}{5}.

Passo 3

A série assume a forma \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}5\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^{n},
cujo termo inicial é
a_{1}=5\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^{1}=2
e a razão é r=\tfrac{2}{5}. Como \lvert r\rvert=2/5<1, a série converge.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma de uma série geométrica convergente,
S = \frac{a_{1}}{1-r} = \frac{2}{1-\tfrac{2}{5}} = \frac{2}{3/5} = \frac{10}{3}.

Resposta

A série converge e sua soma é \tfrac{10}{3}.

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