Considere a transformação (x, y)=T(r, \theta), dada por x=r \cos \theta e y=r \operatorname{sen} \theta. Desenhe o conjunto T(B), sendo B o retângulo 1 \leqslant r \leqslant 2,0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi.

Passo 1

O enunciado dá a transformação de coordenadas polares para cartesianas
x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta
e define o retângulo em (r,\theta)
B = \{(r,\theta)\mid 1 \le r \le 2,\;0 \le \theta \le 2\pi\}.
Queremos desenhar a imagem T(B) no plano (x,y). O conteúdo aqui é interpretação geométrica de coordenadas polares.

Passo 2

No retângulo B, o parâmetro r varia de 1 a 2, enquanto \theta percorre um chamado “círculo completo” de 0 a 2\pi. Geometricamente, isso significa que consideramos todos os pontos cuja distância ao origem está entre 1 e 2, cobrindo todas as direções.

Passo 3

Sob a transformação T, o valor de r passa a ser a distância do ponto (x,y) ao ponto (0,0). Logo
T(B) = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1 \le \sqrt{x^2 + y^2}\le 2\bigr\}.

Passo 4

Portanto, T(B) é a coroa circular (anél) centrada na origem, limitada pelas circunferências de raio 1 e raio 2, incluindo ambas as fronteiras. Para desenhar, basta traçar duas circunferências concêntricas de raios 1 e 2 e sombrear a região entre elas.

Resposta

T(B)=\{(x,y)\mid 1\le\sqrt{x^2+y^2}\le2\}, ou seja, o anel entre as circunferências de raio 1 e 2 centradas na origem.

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