Sobre Limites:
Para que valor de a, a função f(x, y) é continua em todos pontos do plano? f(x, y)=\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}}+a \cdot \operatorname{sen}(x \cdot y)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o(s) valor(es) de a de modo que a função
f(x,y)=\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}+a\cdot\sin(xy)
seja contínua em todo o plano \mathbb{R}^2. O ponto crítico é (0,0), já que para (x,y)\neq(0,0) o denominador x^2+y^2 é não-nulo e f é soma de funções contínuas ali.

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0), a função
(x,y)\mapsto\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}
é contínua (razão de polinômios com denominador não-nulo) e (x,y)\mapsto\sin(xy) também é contínua. Logo, a soma é contínua fora da origem, independentemente de a.

Passo 3

Para verificar continuidade em (0,0), calculamos o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) em coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta.
Então
\frac{2xy}{x^2+y^2} =\frac{2r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2} =\sin(2\theta),
\sin(xy)=\sin\bigl(r^2\cos\theta\sin\theta\bigr)\longrightarrow0 \quad\text{quando }r\to0.
Logo
f(r,\theta) =\sin(2\theta)+a\;\sin\bigl(r^2\cos\theta\sin\theta\bigr) \;\longrightarrow\;\sin(2\theta) \quad(r\to0).

Passo 4

O limite \sin(2\theta) depende de \theta, isto é, do caminho de aproximação a (0,0). Como sobra o termo \sin(2\theta), não há escolha de a que o anule ou o torne independente de \theta. Portanto, o limite não existe em (0,0) para nenhum valor de a.

Resposta

Não existe valor de a que torne f contínua em todo o plano.

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