1. Considere a seguinte função: y=1-x \ln (x) :
    a) Identifique o intervalo da raiz da equação y=0.
    b) Podemos afirmar que no intervalo identificado na letra (a) existe apenas uma raiz da equação y=0 ?
    c) Pelo Método da Bissecção, qual é o número de iterações necessárias para determinar a raiz em questão com precisão de 0.01 ?

Passo 1

O enunciado dá a função y=1-x\ln(x) e pede três coisas:
  • (a) Identificar um intervalo onde exista uma raiz da equação y=0.
  • (b) Dizer se nesse intervalo há apenas uma raiz.
  • (c) Pelo método da bissecção, determinar o número de iterações necessárias para obter a raiz com precisão 0,01.
Informações úteis fornecidas ou implícitas:
  • A equação a resolver é 1-x\ln(x)=0, isto é, encontrar x>0 tal que x\ln(x)=1.
  • O domínio natural da função é x\in(0,\infty) porque aparece \ln(x).
  • Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e o método da bissecção precisamos de um intervalo [a,b] com a,b>0 tal que a função seja contínua em [a,b] e os valores nos extremos tenham sinais opostos (isto garante pelo menos uma raiz) — além disso, para garantir unicidade podemos usar monotonicidade (derivada).

Passo 2

Definir a função f(x) e verificar continuidade e valores em pontos convenientes.
  • Definimos f(x)=1-x\ln(x) para x>0.
  • A função f é contínua em (0,\infty) porque é combinação de funções contínuas ( x e \ln(x)) no domínio.
  • Calcular f(1):
f(1)=1-1\cdot\ln(1)=1-0=1.
  • Calcular f(e) (onde e é a base dos logaritmos, e\approx2,71828):
f(e)=1-e\cdot\ln(e)=1-e\cdot 1=1-e\approx 1-2{,}71828\approx -1{,}71828.
Portanto f(1)=1>0 e f(e)<0.

Passo 3

Aplicar o Teorema do Valor Intermediário para identificar um intervalo com raiz.
  • O TVI diz: se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
  • Como f é contínua em [1,e] (porque [1,e]\subset(0,\infty)) e f(1)>0, f(e)<0, segue do TVI que existe pelo menos uma raiz em (1,e).
Assim, uma resposta natural para (a) é: a raiz está em (1,e) — ou, se preferir intervalo fechado para aplicar bissecção, [1,e] contém uma raiz.

Passo 4

Analisar unicidade da raiz no intervalo usando derivada (monotonicidade).
  • Calcular a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1-x\ln(x)\bigr)=-\bigl(\ln(x)+1\bigr).
Explicação do que significa cada termo: \ln(x) é o logaritmo natural; a soma \ln(x)+1 aparece porque \frac{d}{dx}[x\ln(x)]=\ln(x)+1. O sinal menos vem do sinal negativo em 1-x\ln(x).
  • Encontrar onde f' muda de sinal: f'(x)=0 quando \ln(x)+1=0, isto é \ln(x)=-1 e portanto x=e^{-1}=\dfrac{1}{e}\approx0{,}3679.
  • Para x>\dfrac{1}{e} tem-se \ln(x)+1>0, então f'(x)=-(\ln(x)+1)<0. Logo f é estritamente decrescente em \bigl(\dfrac{1}{e},\infty\bigr).
  • O intervalo (1,e) está contido em \bigl(\dfrac{1}{e},\infty\bigr), então f é estritamente decrescente em (1,e).
  • Uma função contínua e estritamente decrescente só pode cruzar o eixo y=0 uma vez no intervalo considerado. Portanto a raiz em (1,e) é única.
Conclusão para (b): Sim — existe apenas uma raiz em (1,e).

Passo 5

Explicar o Método da Bissecção e a fórmula para o número de iterações necessárias.
  • Ideia do método: dada uma função contínua f e um intervalo inicial [a,b] com f(a)f(b)<0, a cada iteração se divide o intervalo ao meio e escolhe o subintervalo onde ocorre a troca de sinal. Depois de n iterações o comprimento do intervalo onde a raiz está é no máximo
\frac{b-a}{2^{n}}.
  • Se se deseja uma precisão absoluta \varepsilon na localização da raiz (isto é, um intervalo de comprimento \le \varepsilon), basta escolher n tal que
\frac{b-a}{2^{n}}\le \varepsilon.
  • Resolvendo para n obtemos
2^{n}\ge \frac{b-a}{\varepsilon} \quad\Rightarrow\quad n\ge \log_{2}\!\biggl(\frac{b-a}{\varepsilon}\biggr).
Como n tem de ser inteiro, toma-se o menor inteiro n que satisfaça essa desigualdade, ou seja n=\lceil \log_{2}((b-a)/\varepsilon)\rceil.
Aqui: escolheremos o intervalo inicial [a,b]=[1,e] obtido anteriormente, e a precisão pedida é \varepsilon=0{,}01.

Passo 6

Calcular o número de iterações necessárias numericamente, passo a passo.
  • Primeiro calcular b-a:
b-a=e-1\approx 2{,}718281828-1=1{,}718281828.
  • Calcular a razão \dfrac{b-a}{\varepsilon}:
\frac{b-a}{\varepsilon}=\frac{e-1}{0{,}01}\approx \frac{1{,}718281828}{0{,}01}=171{,}8281828.
  • Calcular o logaritmo na base 2:
\log_{2}\!\biggl(171{,}8281828\biggr)=\frac{\ln(171{,}8281828)}{\ln 2}.
Estimando os valores:
\ln(171{,}8281828)\approx 5{,}146495, \qquad \ln 2\approx 0{,}693147.
Logo
\log_{2}\!\biggl(171{,}8281828\biggr)\approx \frac{5{,}146495}{0{,}693147}\approx 7{,}4239.
  • Como n deve ser inteiro e satisfazer n\ge 7{,}4239, toma-se n=\lceil 7{,}4239\rceil=8.
Verificação direta: após 7 iterações o comprimento do intervalo seria (e-1)/2^{7}\approx 1{,}71828/128\approx 0{,}01342>0{,}01, insuficiente; após 8 iterações o comprimento é (e-1)/2^{8}\approx 1{,}71828/256\approx 0{,}00671<0{,}01, portanto 8 iterações bastam.

Resposta

(a) A raiz está em (1,e) (ou contida em [1,e]).
(b) Sim; existe apenas uma raiz em (1,e).
(c) São necessárias 8 iterações do método da bissecção.

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