- Considere a seguinte função:
:
a) Identifique
intervalo da raiz da equação
.
b) Podemos afirmar que no intervalo identificado na letra (a) existe apenas uma raiz da equação
?
c) Pelo Método da Bissecção, qual é o número de iterações necessárias para determinar a raiz em questão com precisão de 0.01 ?
a) Identifique
b) Podemos afirmar que no intervalo identificado na letra (a) existe apenas uma raiz da equação
c) Pelo Método da Bissecção, qual é o número de iterações necessárias para determinar a raiz em questão com precisão de 0.01 ?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) Identificar um intervalo onde exista uma raiz da equação
. - (b) Dizer se nesse intervalo há apenas uma raiz.
- (c) Pelo método da bissecção, determinar o número de iterações necessárias para obter a raiz com precisão
.
Informações úteis fornecidas ou implícitas:
- A equação a resolver é
, isto é, encontrar tal que . - O domínio natural da função é
porque aparece . - Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e o método da bissecção precisamos de um intervalo
com tal que a função seja contínua em e os valores nos extremos tenham sinais opostos (isto garante pelo menos uma raiz) — além disso, para garantir unicidade podemos usar monotonicidade (derivada).
Passo 2
Definir a função
e verificar continuidade e valores em pontos convenientes.
- Definimos
para . - A função
é contínua em porque é combinação de funções contínuas ( e ) no domínio. - Calcular
:
- Calcular
(onde é a base dos logaritmos, ):
Portanto
e
.
Passo 3
Aplicar o Teorema do Valor Intermediário para identificar um intervalo com raiz.
- O TVI diz: se
é contínua em e e têm sinais opostos, então existe pelo menos um tal que . - Como
é contínua em (porque ) e , , segue do TVI que existe pelo menos uma raiz em .
Assim, uma resposta natural para (a) é: a raiz está em
— ou, se preferir intervalo fechado para aplicar bissecção,
contém uma raiz.
Passo 4
Analisar unicidade da raiz no intervalo usando derivada (monotonicidade).
- Calcular a derivada:
Explicação do que significa cada termo:
é o logaritmo natural; a soma
aparece porque
. O sinal menos vem do sinal negativo em
.
- Encontrar onde
muda de sinal: quando , isto é e portanto . - Para
tem-se , então . Logo é estritamente decrescente em . - O intervalo
está contido em , então é estritamente decrescente em . - Uma função contínua e estritamente decrescente só pode cruzar o eixo
uma vez no intervalo considerado. Portanto a raiz em é única.
Conclusão para (b): Sim — existe apenas uma raiz em
.
Passo 5
Explicar o Método da Bissecção e a fórmula para o número de iterações necessárias.
- Ideia do método: dada uma função contínua
e um intervalo inicial com , a cada iteração se divide o intervalo ao meio e escolhe o subintervalo onde ocorre a troca de sinal. Depois de iterações o comprimento do intervalo onde a raiz está é no máximo
- Se se deseja uma precisão absoluta
na localização da raiz (isto é, um intervalo de comprimento ), basta escolher tal que
- Resolvendo para
obtemos
Como
tem de ser inteiro, toma-se o menor inteiro
que satisfaça essa desigualdade, ou seja
.
Aqui: escolheremos o intervalo inicial
obtido anteriormente, e a precisão pedida é
.
Passo 6
Calcular o número de iterações necessárias numericamente, passo a passo.
- Primeiro calcular
:
- Calcular a razão
:
- Calcular o logaritmo na base
:
Estimando os valores:
Logo
- Como
deve ser inteiro e satisfazer , toma-se .
Verificação direta: após
iterações o comprimento do intervalo seria
, insuficiente; após
iterações o comprimento é
, portanto
iterações bastam.
Resposta
(a) A raiz está em
(ou contida em
).
(b) Sim; existe apenas uma raiz em .
(c) São necessárias iterações do método da bissecção.
(b) Sim; existe apenas uma raiz em
(c) São necessárias