A função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x})+\cos (\mathrm{x}) é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo \varepsilon=0,002 :
[2,4]

Passo 1

O problema fornece:
  • A função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x})+\cos(\mathrm{x}).
  • Intervalo inicial para buscar a raiz: [2,4].
  • Precisão desejada: \varepsilon=0,002.
    O que se pede:
  • Determinar o zero (uma raiz) de \mathrm{f} no intervalo [2,4] usando o método da posição falsa modificada (FPM) com tolerância \varepsilon.

Passo 2

Explicação didática do método da posição falsa modificada (versão “Illinois”, comum em provas):
  • A posição falsa (regula falsi) constrói em cada iteração um ponto c obtido por interpolação linear entre os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). A fórmula é:
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Aqui:
  • a e b são as extremidades do intervalo atual, com f(a) e f(b) conhecidas;
  • c é o ponto onde a reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) corta o eixo x.
  • Depois de calcular c, avalia-se f\text{(c)}. Se f\text{(c)}=0 ou |f\text{(c)}|<\varepsilon (critério que vamos usar), aceitamos c como raiz aproximada.
  • Se não, escolhe-se o subintervalo que contém a mudança de sinal entre f nos extremos: se f(a)f\text{(c)}<0 toma-se [a,c]; se f\text{(c)}f(b)<0 toma-se [c,b].
  • Problema da regula falsi simples: muitas vezes um dos extremos não se move e o método converge muito lentamente. A modificação (Illinois) corrige isso: sempre que um extremo permanece sem ser substituído, reduz-se o valor de sua imagem por 2 (isto é, metade de f na fórmula) para forçar a linha secante a deslocar-se e acelerar convergência. Implementação prática adotada aqui (forma simples e usual):
    • Se f\text{(c)} tem o mesmo sinal de f(a), então substitui-se a\leftarrow c e ajusta-se f(b)\leftarrow f(b)/2.
    • Se f\text{(c)} tem o mesmo sinal de f(b), então substitui-se b\leftarrow c e ajusta-se f(a)\leftarrow f(a)/2.
  • Critério de parada usado: |f\text{(c)}|<\varepsilon. (Também é comum usar |b-a|<\varepsilon, mas aqui vou trabalhar com |f\text{(c)}| porque \varepsilon foi dado e isto facilita checar proximidade ao zero.)
Observação curta e motivadora: a ideia é sempre aproximar o zero pela interseção da reta entre os pontos, e a modificação evita que um extremo “trave” o processo — assim a convergência fica bem mais rápida na prática.

Passo 3

Avaliar os extremos iniciais para confirmar mudança de sinal:
  • a_0=2,\\ b_0=4.
  • Calcular f(2)=\operatorname{sen}(2)+\cos(2). Usando aproximações conhecidas: \operatorname{sen}(2)\approx0,909297,\qquad \cos(2)\approx-0,416147,logo f(2)\approx0,909297-0,416147=0,493150.
  • Calcular f(4)=\operatorname{sen}(4)+\cos(4). Usando aproximações: \operatorname{sen}(4)\approx-0,756802,\qquad \cos(4)\approx-0,653643,logo f(4)\approx-0,756802-0,653643=-1,410445.
  • Como f(2)\cdot f(4)\approx0,493150\cdot(-1,410445)<0, há pelo menos uma raiz no intervalo [2,4]. Podemos aplicar FPM.

Passo 4

Calcular c_1 por interpolação:
c_1=\frac{2\cdot f(4)-4\cdot f(2)}{f(4)-f(2)} =\frac{2\cdot(-1,410445)-4\cdot 0,493150}{-1,410445-0,493150}\approx2,518.
Avaliar f(c_1). Para x=2,518 usamos identidade próxima a \pi: 2,518\approx\pi-0,6236. Calculando:
\operatorname{sen}(2,518)\approx0,5841,\qquad \cos(2,518)\approx-0,8119,
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f(c_1)\approx0,5841-0,8119=-0,2278.
Sinal de f(c_1) é negativo (igual a f(4)). Pelo critério:
  • Substituímos b\leftarrow c_1 (ficando b_1=2,518).
  • Aplicamos a modificação: como b foi o extremo que se manteve com mesmo sinal, ajustamos f(a)\leftarrow f(a)/2. Assim a imagem associada a a passa a ser \tilde f(a)=0,493150/2=0,246575.
    Verificação do critério: |f(c_1)|\approx0,2278>\varepsilon, continuar.

Passo 5

Agora usamos as imagens modificadas \tilde f(a)=0,246575 e f(b)=-0,2278 com a=2 e b=2,518.
Calcular
c_2=\frac{2\cdot(-0,2278)-2,518\cdot 0,246575}{-0,2278-0,246575}\approx2,2700.
Avaliar f(c_2). Para x=2,270 (próximo de \pi-0,8716):
\operatorname{sen}(2,270)\approx0,7654,\qquad \cos(2,270)\approx-0,6441,
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f(c_2)\approx0,1213>0.
Sinal positivo (igual a \tilde f(a)). Pelo critério:
  • Substituímos a\leftarrow c_2 (agora a=2,270).
  • Aplicamos modificação: como o outro extremo b ficou com o mesmo sinal em iterações anteriores, reduzimos a imagem de b: f(b)\leftarrow f(b)/2=-0,2278/2=-0,1139.
    Verificação: |f(c_2)|\approx0,1213>\varepsilon, continuar.

Passo 6

Agora a=2,270 com f(a)=0,1213 e b=2,518 com imagem modificada \tilde f(b)=-0,1139.
Calcular
c_3=\frac{2,270\cdot(-0,1139)-2,518\cdot 0,1213}{-0,1139-0,1213}\approx2,3978.
Avaliar f(c_3). Para x=2,3978 (próximo de \pi-0,7438):
f(c_3)\approx-0,0590.
Sinal negativo (igual a f(b)). Assim:
  • Substituímos b\leftarrow c_3 ( b=2,3978).
  • Aplicamos modificação: reduzir imagem de a: f(a)\leftarrow f(a)/2=0,1213/2=0,0606.
    Verificação: |f(c_3)|\approx0,0590>\varepsilon, continuar.

Passo 7

Agora a=2,270 com imagem modificada 0,0606 (por causa da halvação) e b=2,3978 com f(b)=-0,0590.
Calcular
c_4=\frac{2,270\cdot(-0,0590)-2,3978\cdot 0,0606}{-0,0590-0,0606}\approx2,3340.
Avaliar f(c_4). Para x=2,3340:
f(c_4)\approx0,0310>0.
Sinal positivo (igual a f(a)). Então:
  • Substituímos a\leftarrow c_4 ( a=2,3340).
  • Reduzimos a imagem de b: f(b)\leftarrow f(b)/2=-0,0590/2=-0,0295.
    Verificação: |f(c_4)|\approx0,0310>\varepsilon, continuar.

Passo 8

Agora a=2,3340 com f(a)=0,0310 e b=2,3978 com \tilde f(b)=-0,0295.
Calcular
c_5=\frac{2,3340\cdot(-0,0295)-2,3978\cdot 0,0310}{-0,0295-0,0310}\approx2,3660.
Avaliar f(c_5):
f(c_5)\approx-0,0142.
Sinal negativo (igual a f(b)). Então:
  • Substituímos b\leftarrow c_5 ( b=2,3660).
  • Reduzimos f(a)\leftarrow f(a)/2=0,0310/2=0,0155.
    Verificação: |f(c_5)|\approx0,0142>\varepsilon, continuar.

Passo 9

Agora a=2,3340 com imagem 0,0155 e b=2,3660 com f(b)=-0,0142.
Calcular
c_6=\frac{2,3340\cdot(-0,0142)-2,3660\cdot 0,0155}{-0,0142-0,0155}\approx2,3529.
Avaliar f(c_6):
f(c_6)\approx0,00778.
Sinal positivo (igual a f(a)). Então:
  • Substituímos a\leftarrow c_6 ( a=2,3529).
  • Reduzimos f(b)\leftarrow f(b)/2=-0,0142/2=-0,0071.
    Verificação: |f(c_6)|\approx0,00778>\varepsilon, continuar.

Passo 10

Agora a=2,3529 com f(a)=0,00778 e b=2,3660 com \tilde f(b)=-0,0071.
Calcular
c_7=\frac{2,3529\cdot(-0,0071)-2,3660\cdot 0,00778}{-0,0071-0,00778}\approx2,3596.
Avaliar f(c_7):
f(c_7)\approx-0,00506.
Sinal negativo (igual a f(b)). Então:
  • Substituímos b\leftarrow c_7 ( b=2,3596).
  • Reduzimos f(a)\leftarrow f(a)/2=0,00778/2=0,00389.
    Verificação: |f(c_7)|\approx0,00506>\varepsilon, continuar.

Passo 11

Agora a=2,3529 com f(a)=0,00389 e b=2,3596 com f(b)=-0,00506.
Calcular
c_8=\frac{2,3529\cdot(-0,00506)-2,3596\cdot 0,00389}{-0,00506-0,00389}\approx2,3564.
Avaliar f(c_8). Observação: 2,3564 está muito próximo de \tfrac{3\pi}{4}\approx2,35619449, onde de fato \operatorname{sen}x+\cos x=0. Calculando:
f(c_8)\approx-0,00029,
que satisfaz
|f(c_8)|\approx0,00029<\varepsilon=0,002.
Portanto atingimos o critério de parada e aceitamos c_8 como a raiz aproximada.

Passo 12

Checagem final e observação didática:
  • A raiz encontrada numericamente é c\approx2,3564. Confirmação analítica rápida: resolver \operatorname{sen}x+\cos x=0 implica \tan x=-1, logo x=-\tfrac{\pi}{4}+k\pi. No intervalo [2,4] o valor com k=1 é x=\tfrac{3\pi}{4}\approx2,35619449, exatamente o valor para o qual a soma se anula. A solução numérica obtida está coerente com essa raiz exata e atende à tolerância pedida.

Resposta

2,3564

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