A função
é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo
:
Passo 1
O problema fornece:
- A função
. - Intervalo inicial para buscar a raiz:
. - Precisão desejada:
.
O que se pede: - Determinar o zero (uma raiz) de
no intervalo usando o método da posição falsa modificada (FPM) com tolerância .
Passo 2
Explicação didática do método da posição falsa modificada (versão “Illinois”, comum em provas):
- A posição falsa (regula falsi) constrói em cada iteração um ponto
obtido por interpolação linear entre os pontos e . A fórmula é:
Aqui:
-
e são as extremidades do intervalo atual, com e conhecidas; -
é o ponto onde a reta que passa por e corta o eixo . - Depois de calcular
, avalia-se . Se ou (critério que vamos usar), aceitamos como raiz aproximada. - Se não, escolhe-se o subintervalo que contém a mudança de sinal entre
nos extremos: se toma-se ; se toma-se . - Problema da regula falsi simples: muitas vezes um dos extremos não se move e o método converge muito lentamente. A modificação (Illinois) corrige isso: sempre que um extremo permanece sem ser substituído, reduz-se o valor de sua imagem por
(isto é, metade de na fórmula) para forçar a linha secante a deslocar-se e acelerar convergência. Implementação prática adotada aqui (forma simples e usual): - Se
tem o mesmo sinal de , então substitui-se e ajusta-se . - Se
tem o mesmo sinal de , então substitui-se e ajusta-se .
- Se
- Critério de parada usado:
. (Também é comum usar , mas aqui vou trabalhar com porque foi dado e isto facilita checar proximidade ao zero.)
Observação curta e motivadora: a ideia é sempre aproximar o zero pela interseção da reta entre os pontos, e a modificação evita que um extremo “trave” o processo — assim a convergência fica bem mais rápida na prática.
Passo 3
Avaliar os extremos iniciais para confirmar mudança de sinal:
-
. - Calcular
. Usando aproximações conhecidas: logo - Calcular
. Usando aproximações: logo - Como
, há pelo menos uma raiz no intervalo . Podemos aplicar FPM.
Passo 4
Calcular
por interpolação:
Avaliar
. Para
usamos identidade próxima a
:
. Calculando:
logo
Sinal de
é negativo (igual a
). Pelo critério:
- Substituímos
(ficando ). - Aplicamos a modificação: como
foi o extremo que se manteve com mesmo sinal, ajustamos . Assim a imagem associada a passa a ser .
Verificação do critério:, continuar.
Passo 5
Agora usamos as imagens modificadas
e
com
e
.
Calcular
Calcular
Avaliar
. Para
(próximo de
):
logo
Sinal positivo (igual a
). Pelo critério:
- Substituímos
(agora ). - Aplicamos modificação: como o outro extremo
ficou com o mesmo sinal em iterações anteriores, reduzimos a imagem de : .
Verificação:, continuar.
Passo 6
Agora
com
e
com imagem modificada
.
Calcular
Calcular
Avaliar
. Para
(próximo de
):
Sinal negativo (igual a
). Assim:
- Substituímos
( ). - Aplicamos modificação: reduzir imagem de
: .
Verificação:, continuar.
Passo 7
Agora
com imagem modificada
(por causa da halvação) e
com
.
Calcular
Calcular
Avaliar
. Para
:
Sinal positivo (igual a
). Então:
- Substituímos
( ). - Reduzimos a imagem de
: .
Verificação:, continuar.
Passo 8
Agora
com
e
com
.
Calcular
Calcular
Avaliar
:
Sinal negativo (igual a
). Então:
- Substituímos
( ). - Reduzimos
.
Verificação:, continuar.
Passo 9
Agora
com imagem
e
com
.
Calcular
Calcular
Avaliar
:
Sinal positivo (igual a
). Então:
- Substituímos
( ). - Reduzimos
.
Verificação:, continuar.
Passo 10
Agora
com
e
com
.
Calcular
Calcular
Avaliar
:
Sinal negativo (igual a
). Então:
- Substituímos
( ). - Reduzimos
.
Verificação:, continuar.
Passo 11
Agora
com
e
com
.
Calcular
Calcular
Avaliar
. Observação:
está muito próximo de
, onde de fato
. Calculando:
que satisfaz
Portanto atingimos o critério de parada e aceitamos
como a raiz aproximada.
Passo 12
Checagem final e observação didática:
- A raiz encontrada numericamente é
. Confirmação analítica rápida: resolver implica , logo . No intervalo o valor com é , exatamente o valor para o qual a soma se anula. A solução numérica obtida está coerente com essa raiz exata e atende à tolerância pedida.