A função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x})+\cos (\mathrm{x}) é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo \varepsilon=0,002 :
[-2: 0]

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede: determinar um zero (raí z) da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x})+\cos(\mathrm{x}) no intervalo [-2,0] usando o método da posição falsa modificada (FPM), com tolerância \varepsilon=0,002.
  • Dados importantes:
    • Função: \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x})+\cos(\mathrm{x}).
    • Intervalo inicial: a_0=-2, b_0=0.
    • Tolerância: \varepsilon=0,002.
  • Observação útil que já dá segurança para aplicar o método: \mathrm{f}(-2)=\operatorname{sen}(-2)+\cos(-2)\approx -1,325444 (negativo) e \mathrm{f}(0)=1 (positivo). Como há mudança de sinal em a_0 e b_0, existe pelo menos uma raiz no intervalo e podemos aplicar métodos de busca de raiz baseados em troca de sinal.

Passo 2

Breve aula sobre o método da posição falsa modificada (FPM, variante Illinois) e a regra que vou usar.
  • Ideia da posição falsa (regula falsi): em cada iteração aproxima-se a curva y=f(x) entre pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) por uma reta e pega-se a interseção dessa reta com o eixo x como novo ponto candidato c. A fórmula da interpolação linear para c é
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Aqui a e b são os extremos atuais do intervalo e f(a),f(b) seus valores.
  • Problema da posição falsa clássica: pode ocorrer “estagnação” quando um dos extremos não muda por muitas iterações, tornando a convergência muito lenta.
  • Modificação (método de Illinois): sempre que um extremo permanece inalterado (ou seja, não foi substituído pela nova c), reduz-se seu valor funcional por metade para efeito da interpolação na próxima iteração. Em termos práticos:
    • Calcular c com a fórmula acima.
    • Se f\text{(c)}=0, parar. Se f(a)\cdot f\text{(c)}<0, então a raiz está em [a,c]: substituir b\leftarrow c e reduzir o valor que será usado para f(a) pela metade (isto é, para a próxima interpolação usa-se f(a)/2).
    • Se f(b)\cdot f\text{(c)}<0, então a raiz está em [c,b]: substituir a\leftarrow c e reduzir o valor que será usado para f(b) pela metade.
  • Critério de parada adotado (escolha explícita): vou usar |f\text{(c)}|<\varepsilon como condição de convergência (ou seja, quando o valor absoluto da função no candidato c for menor que 0,002 paro). Esta é uma escolha habitual e adequada quando se quer precisão no valor da função em zero. Também monitorarei os intervalos caso desejássemos critério em x, mas o requisito pede \varepsilon e é natural aplicá-lo a |f\text{(c)}|.

Passo 3

Avaliação inicial dos extremos e preparação para iterações.
  • Calcular f nos extremos (valores em radianos):
    • \mathrm{f}(-2)=\operatorname{sen}(-2)+\cos(-2)\approx -1,325444.
    • \mathrm{f}(0)=\operatorname{sen}(0)+\cos(0)=0+1=1.
  • Como \mathrm{f}(-2)\cdot\mathrm{f}(0)<0, há raiz em [-2,0]. Começamos com a=-2, b=0, f(a)\approx -1,325444, f(b)=1.
Agora vamos iterar seguindo o procedimento Illinois, mostrando todos os cálculos e o raciocínio para cada iteração.

Passo 4

Iteração 1 — cálculo de c_1.
  • Usando a fórmula
c_1=\frac{a f(b)-b f(a)}{f(b)-f(a)}=\frac{(-2)\cdot 1 - 0\cdot(-1,325444)}{1-(-1,325444)}=\frac{-2}{2,325444}\approx -0,860073.
  • Avaliar f(c_1):
    • \mathrm{f}(-0,860073)=\operatorname{sen}(-0,860073)+\cos(-0,860073)\approx -0,1034 (negativo).
  • Como \mathrm{f}(c_1) e \mathrm{f}(a) têm o mesmo sinal (ambos negativos), a raiz está em [c_1,b]=[-0,860073,\,0]. Logo atualizamos:
    • a\leftarrow c_1=-0,860073, b\leftarrow 0.
  • Como b permaneceu inalterado nesta iteração, para evitar estagnação aplicamos a modificação: para a próxima interpolação usaremos f(b) reduzido pela metade, isto é, usaremos f(b)_{\text{mod}}=\tfrac{1}{2}\cdot 1=0,5. Mantemos, porém, o valor verdadeiro f(b)=1 para referência; a metade entra apenas na fórmula de interpolação.

Passo 5

Iteração 2 — cálculo de c_2 (usando f(b)_{\text{mod}}=0,5).
  • Valores atuais para a interpolação:
    • a=-0,860073 com f(a)\approx -0,1034.
    • b=0 com f(b)_{\text{mod}}=0,5.
  • Calcular
c_2=\frac{a f(b)_{\text{mod}}-b f(a)}{f(b)_{\text{mod}}-f(a)} =\frac{(-0,860073)\cdot 0,5 - 0\cdot(-0,1034)}{0,5-(-0,1034)} \approx \frac{-0,4300365}{0,6034}\approx -0,7129.
  • Avaliar f(c_2):
    • \mathrm{f}(-0,7129)=\operatorname{sen}(-0,7129)+\cos(-0,7129)\approx 0,1050 (positivo).
  • Como f(a) é negativo e f(c_2) é positivo, a raiz está em [a,c_2]=[-0,860073,\,-0,7129]. Atualizamos:
    • a\leftarrow -0,860073 (permanece), b\leftarrow c_2=-0,7129.
  • Como a permaneceu inalterado agora, para a próxima iteração reduzimos f(a) pela metade na interpolação: f(a)_{\text{mod}}=\tfrac{1}{2}\cdot(-0,1034)=-0,0517.

Passo 6

Iteração 3 — cálculo de c_3 (usando f(a)_{\text{mod}}=-0,0517).
  • Valores para a interpolação:
    • a=-0,860073 com f(a)_{\text{mod}}=-0,0517.
    • b=-0,7129 com f(b)\approx 0,1050.
  • Calcular
c_3=\frac{a f(b)-b f(a)_{\text{mod}}}{f(b)-f(a)_{\text{mod}}} \approx\frac{(-0,860073)\cdot 0,1050 - (-0,7129)\cdot(-0,0517)}{0,1050-(-0,0517)} \approx -0,8116.
  • Avaliar f(c_3):
    • \mathrm{f}(-0,8116)\approx -0,0352 (negativo).
  • Como f(c_3) e f(a) têm o mesmo sinal (negativo), a raiz está em [c_3,b]=[-0,8116,\,-0,7129]. Atualizamos:
    • a\leftarrow c_3=-0,8116, b\leftarrow -0,7129.
  • Agora b ficou inalterado nesta iteração, então para a próxima interpolação usamos f(b)_{\text{mod}}=\tfrac{1}{2}\cdot 0,1050=0,0525.

Passo 7

Iteração 4 — cálculo de c_4 (com f(b)_{\text{mod}}=0,0525).
  • Valores:
    • a=-0,8116 com f(a)\approx -0,0352.
    • b=-0,7129 com f(b)_{\text{mod}}=0,0525.
  • Calcular
c_4=\frac{a f(b)_{\text{mod}}-b f(a)}{f(b)_{\text{mod}}-f(a)} \approx\frac{(-0,8116)\cdot 0,0525 - (-0,7129)\cdot(-0,0352)}{0,0525-(-0,0352)} \approx -0,7721.
  • Avaliar f(c_4):
    • \mathrm{f}(-0,7721)\approx 0,0163 (positivo).
  • Como f(a) é negativo e f(c_4) é positivo, raiz em [a,c_4]=[-0,8116,\,-0,7721]. Atualizamos:
    • a\leftarrow -0,8116 (permanece), b\leftarrow c_4=-0,7721.
  • Como a permaneceu inalterado, para próxima interpolação reduzimos f(a) pela metade: f(a)_{\text{mod}}=\tfrac{1}{2}\cdot(-0,0352)=-0,0176.

Passo 8

Iteração 5 — cálculo de c_5 (com f(a)_{\text{mod}}=-0,0176).
  • Valores:
    • a=-0,8116 com f(a)_{\text{mod}}=-0,0176.
    • b=-0,7721 com f(b)\approx 0,0163.
  • Calcular
c_5=\frac{a f(b)-b f(a)_{\text{mod}}}{f(b)-f(a)_{\text{mod}}} \approx -0,7911.
  • Avaliar f(c_5):
    • \mathrm{f}(-0,7911)\approx -0,0068 (negativo).
  • |f(c_5)|=0,0068>\varepsilon, então continuar. Como f(c_5) e f(a) têm o mesmo sinal (negativo), atualizamos:
    • a\leftarrow c_5=-0,7911, b\leftarrow -0,7721.
  • Como b ficou inalterado agora, usaremos f(b)_{\text{mod}}=\tfrac{1}{2}\cdot 0,0163=0,00815 na interpolação seguinte.

Passo 9

Iteração 6 — cálculo de c_6 (com f(b)_{\text{mod}}=0,00815).
  • Valores:
    • a=-0,7911 com f(a)\approx -0,0068.
    • b=-0,7721 com f(b)_{\text{mod}}=0,00815.
  • Calcular
c_6\approx -0,7830.
  • Avaliar f(c_6):
    • \mathrm{f}(-0,7830)\approx 0,0036 (positivo).
  • |f(c_6)|=0,0036>\varepsilon. Como f(a) negativo e f(c_6) positivo, atualizamos:
    • b\leftarrow c_6=-0,7830.
  • Como a permaneceu inalterado, reduzimos f(a) na próxima interpolação: f(a)_{\text{mod}}=\tfrac{1}{2}\cdot(-0,0068)=-0,0034.

Passo 10

Iteração 7 — cálculo de c_7 (com f(a)_{\text{mod}}=-0,0034) e verificação do critério.
  • Valores:
    • a=-0,7911 com f(a)_{\text{mod}}=-0,0034.
    • b=-0,7830 com f(b)\approx 0,0036.
  • Calcular
c_7=\frac{a f(b)-b f(a)_{\text{mod}}}{f(b)-f(a)_{\text{mod}}} \approx -0,7872.
  • Avaliar f(c_7):
    • \mathrm{f}(-0,7872)\approx -0,0016.
  • Agora |f(c_7)|\approx 0,0016<\varepsilon=0,002. Portanto o critério de parada foi atingido e aceitamos c_7 como aproximação da raiz.

Passo 11

Resumo do resultado e interpretação final.
  • Depois de 7 iterações do método da posição falsa modificada (Illinois), obteve-se a aproximação da raiz x^*\approx -0,7872,com \mathrm{f}(x^*)\approx -0,0016, que satisfaz |f(x^*)|<0,002.
  • Comentário encorajador: observe como a modificação (dividir por 2 o valor funcional do extremo que não mudou) evita que um extremo “segure” a interpolação e assim acelera a convergência — por isso, em problemas práticos com regula falsi que estagnam, a variante Illinois é uma ótima escolha.

Resposta

-0,7872

Exercícios relacionados