A função
é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo
:
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pede: determinar um zero (raí z) da função
no intervalo usando o método da posição falsa modificada (FPM), com tolerância . - Dados importantes:
- Função:
. - Intervalo inicial:
, . - Tolerância:
.
- Função:
- Observação útil que já dá segurança para aplicar o método:
(negativo) e (positivo). Como há mudança de sinal em e , existe pelo menos uma raiz no intervalo e podemos aplicar métodos de busca de raiz baseados em troca de sinal.
Passo 2
Breve aula sobre o método da posição falsa modificada (FPM, variante Illinois) e a regra que vou usar.
- Ideia da posição falsa (regula falsi): em cada iteração aproxima-se a curva
entre pontos e por uma reta e pega-se a interseção dessa reta com o eixo como novo ponto candidato . A fórmula da interpolação linear para é
Aqui
e
são os extremos atuais do intervalo e
seus valores.
- Problema da posição falsa clássica: pode ocorrer “estagnação” quando um dos extremos não muda por muitas iterações, tornando a convergência muito lenta.
- Modificação (método de Illinois): sempre que um extremo permanece inalterado (ou seja, não foi substituído pela nova
), reduz-se seu valor funcional por metade para efeito da interpolação na próxima iteração. Em termos práticos: - Calcular
com a fórmula acima. - Se
, parar. Se , então a raiz está em : substituir e reduzir o valor que será usado para pela metade (isto é, para a próxima interpolação usa-se ). - Se
, então a raiz está em : substituir e reduzir o valor que será usado para pela metade.
- Calcular
- Critério de parada adotado (escolha explícita): vou usar
como condição de convergência (ou seja, quando o valor absoluto da função no candidato for menor que paro). Esta é uma escolha habitual e adequada quando se quer precisão no valor da função em zero. Também monitorarei os intervalos caso desejássemos critério em , mas o requisito pede e é natural aplicá-lo a .
Passo 3
Avaliação inicial dos extremos e preparação para iterações.
- Calcular
nos extremos (valores em radianos): -
. -
.
-
- Como
, há raiz em . Começamos com , , , .
Agora vamos iterar seguindo o procedimento Illinois, mostrando todos os cálculos e o raciocínio para cada iteração.
Passo 4
Iteração 1 — cálculo de
.
- Usando a fórmula
- Avaliar
: -
(negativo).
-
- Como
e têm o mesmo sinal (ambos negativos), a raiz está em . Logo atualizamos: -
, .
-
- Como
permaneceu inalterado nesta iteração, para evitar estagnação aplicamos a modificação: para a próxima interpolação usaremos reduzido pela metade, isto é, usaremos . Mantemos, porém, o valor verdadeiro para referência; a metade entra apenas na fórmula de interpolação.
Passo 5
Iteração 2 — cálculo de
(usando
).
- Valores atuais para a interpolação:
-
com . -
com .
-
- Calcular
- Avaliar
: -
(positivo).
-
- Como
é negativo e é positivo, a raiz está em . Atualizamos: -
(permanece), .
-
- Como
permaneceu inalterado agora, para a próxima iteração reduzimos pela metade na interpolação: .
Passo 6
Iteração 3 — cálculo de
(usando
).
- Valores para a interpolação:
-
com . -
com .
-
- Calcular
- Avaliar
: -
(negativo).
-
- Como
e têm o mesmo sinal (negativo), a raiz está em . Atualizamos: -
, .
-
- Agora
ficou inalterado nesta iteração, então para a próxima interpolação usamos .
Passo 7
Iteração 4 — cálculo de
(com
).
- Valores:
-
com . -
com .
-
- Calcular
- Avaliar
: -
(positivo).
-
- Como
é negativo e é positivo, raiz em . Atualizamos: -
(permanece), .
-
- Como
permaneceu inalterado, para próxima interpolação reduzimos pela metade: .
Passo 8
Iteração 5 — cálculo de
(com
).
- Valores:
-
com . -
com .
-
- Calcular
- Avaliar
: -
(negativo).
-
-
, então continuar. Como e têm o mesmo sinal (negativo), atualizamos: -
, .
-
- Como
ficou inalterado agora, usaremos na interpolação seguinte.
Passo 9
Iteração 6 — cálculo de
(com
).
- Valores:
-
com . -
com .
-
- Calcular
- Avaliar
: -
(positivo).
-
-
. Como negativo e positivo, atualizamos: -
.
-
- Como
permaneceu inalterado, reduzimos na próxima interpolação: .
Passo 10
Iteração 7 — cálculo de
(com
) e verificação do critério.
- Valores:
-
com . -
com .
-
- Calcular
- Avaliar
: -
.
-
- Agora
. Portanto o critério de parada foi atingido e aceitamos como aproximação da raiz.
Passo 11
Resumo do resultado e interpretação final.
- Depois de 7 iterações do método da posição falsa modificada (Illinois), obteve-se a aproximação da raiz
com , que satisfaz . - Comentário encorajador: observe como a modificação (dividir por 2 o valor funcional do extremo que não mudou) evita que um extremo “segure” a interpolação e assim acelera a convergência — por isso, em problemas práticos com regula falsi que estagnam, a variante Illinois é uma ótima escolha.