No produto F=q v times B, faça q=1,5, v=4,0 imath+1,0 jmath+2,0 k, F=3,0 imath+6,0 jmath-9,0 k. Determine B, na notação dos vetores unitários, considerando Bx=2 By.
(a) B=1,0 imath-1,0 jmath+2,5 k
(b) B=-6,0 imath-3,0 jmath-4,0 k
© B=1,0 imath+1,0 j+3,5 k
(d) B=2,0 imath+1,0 jmath+3,5 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma situação onde temos uma força magnética F atuando sobre uma carga elétrica q que está se movendo com uma velocidade v em um campo magnético B. A equação que relaciona tudo isso é:
F = q , v times B
Aqui, vamos precisar usar o conceito de produto vetorial para resolver o problema. Nosso objetivo é descobrir qual é o vetor B, sabendo que Bx = 2 By. Vamos usar os valores fornecidos de q, v e F para encontrar B.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as informações que temos:
q = 1.5
v = 4.0, imath + 1.0, jmath + 2.0, k
F = 3.0, imath + 6.0, jmath - 9.0, k
Bx = 2 By
Nossa meta é encontrar B = Bx, imath + By, jmath + Bz, k.

Passo 3

Vamos começar isolando o produto vetorial na equação original:
F = q , (v times B)
Dividindo ambos os lados por q para isolar o produto vetorial:
v times B = Fq = 3.0, imath + 6.0, jmath - 9.0, k1.5 = 2.0, imath + 4.0, jmath - 6.0, k

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial v times B. Lembrando que para dois vetores a = ax, imath + ay, jmath + az, k e b = bx, imath + by, jmath + bz, k, o produto vetorial é dado por:
a times b = (ay bz - az by), imath - (ax bz - az bx), jmath + (ax by - ay bx), k
Aplicando isso à nossa velocidade e ao campo magnético:
v times B = (1.0 cdot Bz - 2.0 cdot By), imath - (4.0 cdot Bz - 2.0 cdot Bx), jmath + (4.0 cdot By - 1.0 cdot Bx), k
Igualando ao resultado que obtivemos anteriormente:
2.0, imath + 4.0, jmath - 6.0, k = (Bz - 2 By), imath - (4 Bz - 2 Bx), jmath + (4 By - Bx), k

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações igualando cada componente:
  1. Na direção imath:
    Bz - 2 By = 2.0
  2. Na direção jmath:
    - (4 Bz - 2 Bx) = 4.0 Rightarrow 4 Bz - 2 Bx = -4.0
  3. Na direção k:
    4 By - Bx = -6.0
Além disso, sabemos que:
Bx = 2 By

Passo 6

Vamos usar a relação Bx = 2 By para simplificar as equações.
Substituindo Bx por 2 By na terceira equação:
4 By - 2 By = -6.0 Rightarrow 2 By = -6.0 Rightarrow By = -3.0
Agora, sabemos que:
Bx = 2 By = 2 cdot (-3.0) = -6.0

Passo 7

Agora que temos Bx e By, vamos encontrar Bz usando a primeira equação:
Bz - 2 By = 2.0 Rightarrow Bz - 2 cdot (-3.0) = 2.0 Rightarrow Bz + 6.0 = 2.0 Rightarrow Bz = 2.0 - 6.0 = -4.0

Passo 8

Então, encontramos todas as componentes do vetor B:
B = Bx, imath + By, jmath + Bz, k = -6.0, imath -3.0, jmath -4.0, k

Resposta

A resposta correta é:
(b) B = -6,0, imath -3,0, jmath -4,0, k

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