Qual das seguintes funções são distribuições de probabilidades discretas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função específica é uma distribuição de probabilidade discreta. Isso envolve entender o que é uma distribuição de probabilidade discreta e como identificar se uma função se encaixa nessa definição. Para resolver, vamos precisar saber que uma distribuição de probabilidade discreta atribui uma probabilidade a cada valor discreto que uma variável aleatória pode assumir, e que a soma de todas essas probabilidades deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que foi fornecida:
Essa função parece ser uma distribuição binomial, que é um tipo de distribuição de probabilidade discreta. A distribuição binomial é usada para modelar o número de sucessos em uma sequência de tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso.
Passo 3
Para confirmar que essa função é realmente uma distribuição de probabilidade discreta, precisamos verificar dois pontos importantes:
- Não-negatividade: Para todo valor de $ x $, a probabilidade $ p(x) $ deve ser maior ou igual a zero.
- Soma das probabilidades igual a 1: A soma de todas as probabilidades para todos os possíveis valores de $ x $ deve ser exatamente 1.
Passo 4
1. Não-negatividade:
Vamos analisar a expressão da função:
- O coeficiente binomial $ \binom{5}{x} $ é sempre positivo para valores inteiros de $ x $ entre 0 e 5.
- As potências $ \left(\frac{2}{3}\right)^{x} $ e $ \left(\frac{1}{3}\right)^{5-x} $ também são positivas, já que estamos elevando números positivos a qualquer potência.
Portanto, $ p(x) \geq 0 $ para todos os $ x $.
2. Soma das probabilidades igual a 1:
Para uma distribuição binomial, sabemos que a soma de todas as probabilidades deve ser 1. Vamos verificar isso:
Aqui, usamos o Teorema Binomial, que afirma que:
Substituindo $ a = \frac{2}{3} $ e $ b = \frac{1}{3} $, temos:
Portanto, a soma das probabilidades é igual a 1.
Resposta
Sim, a função dada é uma distribuição de probabilidade discreta.