Seja q=30-4 x-2 y a equação de demanda de um produto A , x seu preço unitário e y o preço unitário de um bem B .
a) Calcule as demandas marginais parciais \frac{\partial q}{\partial x} e \frac{\partial q}{\partial y}, explicando seu significado.
b) O que aumenta mais a demanda de A: diminuir em uma unidade seu preço unitário (mantendo o de B) ou diminuir em uma unidade o preço unitário de B (mantendo o de A )?

Passo 1

O enunciado dá a função de demanda do produto A
q = 30 - 4x - 2y
onde x é o preço unitário de A e y é o preço unitário de B.
Pediu-se:
  1. Calcular as derivadas parciais \frac{\partial q}{\partial x} e \frac{\partial q}{\partial y}.
  2. Interpretar o significado dessas derivadas e comparar o impacto de reduzir em uma unidade o preço de A ou de B.

Passo 2

Para achar \displaystyle \frac{\partial q}{\partial x}, tratamos y como constante e derivamos em relação a x.
A derivada de -4x em relação a x é -4 e a de -2y é zero. Logo
\frac{\partial q}{\partial x} = -4.

Passo 3

Para achar \displaystyle \frac{\partial q}{\partial y}, tratamos x como constante e derivamos em relação a y.
A derivada de -2y em relação a y é -2 e a de -4x é zero. Logo
\frac{\partial q}{\partial y} = -2.

Passo 4

O significado econômico é:
  • \frac{\partial q}{\partial x} = -4 indica que, se o preço de A subir em uma unidade, a demanda de A cai em 4 unidades.
  • \frac{\partial q}{\partial y} = -2 indica que, se o preço de B subir em uma unidade, a demanda de A cai em 2 unidades.

Passo 5

Para comparar o efeito de reduzir em uma unidade o preço de cada bem, basta trocar o sinal:
  • Diminuir x em 1 aumenta q em 4 unidades.
  • Diminuir y em 1 aumenta q em 2 unidades.
    Portanto, reduzir o preço de A tem maior impacto sobre a demanda de A.

Resposta

a) \displaystyle \frac{\partial q}{\partial x} = -4 e \displaystyle \frac{\partial q}{\partial y} = -2.
b) Diminuir em uma unidade o preço de A (manter o de B) aumenta mais a demanda de A.

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